Loi de Poisson

Loi de Poisson
Fonction de masse Les fonctions de masse ne sont définies que pour les entiers k.
Fonction de répartition Les fonctions de répartition sont discontinues en chaque entier naturel.
Paramètres	${\displaystyle \lambda \in {}]0,+\infty [}$[1]
Support	${\displaystyle \mathbb {N} }$
Fonction de masse	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!{\text{ pour }}k\geq 0}$ (où ${\displaystyle \Gamma (x,y)}$ est la Fonction gamma incomplète) et où ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ est la partie entière par défaut de x
Espérance	${\displaystyle \lambda \,}$
Médiane	${\displaystyle {\text{environ }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }$
Mode	${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }$ si ${\displaystyle \lambda }$ est un réel non entier, ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \lambda -1}$ si ${\displaystyle \lambda }$ est un nombre entier
Variance	${\displaystyle \lambda \,}$
Asymétrie	${\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle \lambda ^{-1}\,}$
Entropie	${\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}.}$ Pour ${\displaystyle \lambda }$ grand : ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi \mathrm {e} \lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle \exp(\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1))}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \exp(\lambda (\mathrm {e} ^{it}-1))\,}$
Fonction génératrice des probabilités	${\displaystyle \exp(\lambda (t-1))}$
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En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixé, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne ou espérance connue, et indépendamment du temps écoulé depuis l'événement précédent.

La loi de Poisson est également pertinente pour décrire le nombre d'événements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

Histoire

La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile^[2]. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné.

Définition

Si le nombre moyen d'occurrences dans un intervalle de temps fixé est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k = 0, 1, 2…) est ${\displaystyle p(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda }}$ où :

• e est la base de l'exponentielle (e ≈ 2,718...) ;
• k! est la factorielle de k. Il correspond à la valeur étudiée ;
• λ est un nombre réel strictement positif^[1]. Il correspond à la moyenne théorique de l'échantillon.

On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre λ, noté ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} \left(\lambda \right)}$.

Par exemple, si un certain type d'événements se produit en moyenne 4 fois par minute, pour étudier le nombre d'événements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10×4 = 40.

Calcul de p(k)

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale de paramètres ${\displaystyle \left(T;{\frac {\lambda }{T}}\right)}$. Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0 ; T] les fonctions F_k(t), qui donnent la probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel, on parvient à retrouver les formules précédentes^[3].

Propriétés

Dans toute cette section X est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ.

Moments et fonctions génératrices

Moments ordinaires

Les quatre premiers moments ordinaires d'une loi de Poisson sont donnés par^[4] :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathbb {E} [X]&=&\lambda \\\mathbb {E} [X^{2}]&=&\lambda (1+\lambda )\\\mathbb {E} [X^{3}]&=&\lambda (1+3\lambda +\lambda ^{2})\\\mathbb {E} [X^{4}]&=&\lambda (1+7\lambda +6\lambda ^{2}+\lambda ^{3})\end{array}}}$

On en déduit la variance et l'écart type :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}V(X)&=&\lambda \\\sigma (X)&=&{\sqrt {\lambda }}\end{array}}}$

Plus généralement, le n-ième moment ordinaire d'une loi de Poisson de paramètre λ est${\displaystyle \mathbb {E} (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}}$où S(n, k) est le nombre de Stirling de seconde espèce de paramètres n et k.

En particulier lorsque λ = 1, le n-ième moment de X correspond au n-ième nombre de Bell. En effet cela est une conséquence de la formule de Dobiński.

La borne suivante majore les moments d'une loi de Poisson^[5] : ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]\leq \left[{\frac {k}{\ln \left(k/\lambda +1\right)}}\right]^{k}\leq \lambda ^{k}\mathrm {e} ^{\frac {k^{2}}{2\lambda }}}$ On a la relation de récurrence^[6] :${\displaystyle \mathbb {E} [X^{n}]=\lambda \mathbb {E} [X^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [X^{n-1}]}{\partial \lambda }}}$

Moments centrés

Les quatre premiers moments centrés d'une loi de Poisson sont donnés par^[4],[6] :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathbb {E} [(X-\lambda )^{2}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{3}]&=&\lambda \\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{4}]&=&\lambda (1+3\lambda )\\\mathbb {E} [(X-\lambda )^{5}]&=&\lambda (1+10\lambda )\end{array}}}$

On en déduit l'asymétrie et le kurtosis normalisé :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\gamma _{1}(X)&=&1/{\sqrt {\lambda }}\\\gamma _{2}(X)&=&1/\lambda \end{array}}}$

On a la relation de récurrence^[6] :${\displaystyle \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n+1}]=n\lambda \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n-1}]+\lambda {\frac {\partial \mathbb {E} [(X-\lambda )^{n}]}{\partial \lambda }}}$

Moments factoriels

Le r-ième moment factoriel d'une loi de Poisson est

${\displaystyle \mathbb {E} ((X)_{r})=\lambda ^{r}}$

où ${\displaystyle (x)_{r}=x(x-1)\dots (x-r+1)}$ désigne la factorielle décroissante.

Fonction génératrice des probabilités

La fonction génératrice des probabilités d'une loi de Poisson est

${\displaystyle G_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (t^{X})=\mathrm {e} ^{\lambda (t-1)}.}$

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments d'une loi de Poisson est

${\displaystyle M_{X}(t)\equiv \mathbb {E} (\mathrm {e} ^{tX})=\exp \left(\lambda (\mathrm {e} ^{t}-1)\right).}$

Diagramme en bâton

Comme toute loi de probabilité discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme d'une loi normale d'espérance et de variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si les variables {X_i}_i=1,...,n sont indépendantes et suivent une loi de Poisson de paramètres respectifs λ_i, alors leur somme suit une loi de Poisson de paramètre la somme des λ_i: ${\displaystyle Y=\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)}$

Bornes de queue

Un argument de type borne de Chernoff permet de déduire les bornes de queue suivantes^[7]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}}$ pour tout x > λ et

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }(\mathrm {e} \lambda )^{x}}{x^{x}}}}$ pour tout x < λ.

Ces bornes peuvent se réécrire de la manière suivante^[8]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}$ pour tout x > 0 et

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq -x+\lambda )\leq \mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left(-{\frac {x}{\lambda }}\right)}}$ pour tout λ > x > 0

où ${\displaystyle h(u):=2{\frac {(1+u)\ln(1+u)-u}{u^{2}}}}$ pour tout ${\displaystyle u\geq -1}$. Ces dernières bornes impliquent en particulier la borne suivante^[8] (qui est plus faible mais plus agréable à manipuler)

${\displaystyle \mathbb {P} (|X-\lambda |\geq x)\leq 2\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2(\lambda +x)}}}}$.

La borne supérieure donnée par Chernoff peut être améliorée d'un facteur 2 au moins^[9]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq x+\lambda )\leq {\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}{\max \left\{2,{\sqrt {{\frac {2\pi x^{2}}{\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}}\right\}}}}$ pour tout x > 0.

Il est à noter que la fonction h est liée à la divergence de Kullback-Leibler entre une loi de Poisson de paramètre x + λ et une loi de Poisson de paramètre λ. En effet on a la relation

${\displaystyle D_{KL}(x+\lambda ||\lambda )=(x+\lambda )\ln \left({\frac {x}{\lambda }}+1\right)-x={\frac {x^{2}}{2\lambda }}h\left({\frac {x}{\lambda }}\right)}$.

Simulation

Un algorithme simple pour simuler la loi de Poisson consiste à utiliser le résultat suivant :

La méthode de la transformée inverse permet de donner une façon simple de générer un tirage aléatoire suivant une loi exponentielle :

Si U suit une loi uniforme sur [0 ; 1], alors E = –1/λln(U) suit une loi exponentielle de paramètre λ.

En générant les ${\displaystyle E_{i}}$ par l'intermédiaire de variables aléatoires ${\displaystyle U_{i}\sim {\mathcal {U}}[0,1]}$, On a ainsi ${\displaystyle S_{n}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(\prod _{i}^{n}U_{i})}$ et, en notant ${\displaystyle P_{n}:=\prod _{i=1}^{n}U_{i},n\geq 1}$ : ${\displaystyle S_{n}\leq 1<S_{n+1}\Leftrightarrow P_{n}\geq \mathrm {e} ^{-\lambda }>P_{n+1}\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}}$

L'algorithme peut ainsi se simplifier en :

• k ← 0, p ← 1
• tant que p > e^–λ
  • on tire u selon un tirage aléatoire uniforme sur [0 ; 1]
  • p ← p×u
  • k ← k+1
• on renvoie k – 1

Estimation du paramètre λ

L'estimateur par maximum de vraisemblance du paramètre λ d'un échantillon issu d'une loi de Poisson est la moyenne empirique. C'est un estimateur convergent, sans biais, efficace, complet (en), exhaustif.

Lien avec d'autres lois de probabilités

• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et μ, alors X – Y est une variable aléatoire qui suit une loi de Skellam de paramètres (λ,μ).
• Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors la loi conditionnelle de X sachant X + Y est une loi binomiale.
• Pour de grandes valeurs de λ, on peut approcher la loi de Poisson par la loi normale de moyenne λ et de variance λ.

Lien avec la loi de Bernoulli

Le décompte des événements rares se fait souvent au travers d'une somme de variables de Bernoulli, la rareté des événements se traduisant par le fait que les paramètres de ces variables de Bernoulli sont petits (ainsi, la probabilité que chaque événement survienne est faible). Le lien entre la loi de Poisson et les événements rares peut alors s'énoncer ainsi :

L'inégalité de Le Cam précise le paradigme de Poisson : soit ${\displaystyle X_{1,n},X_{2,n},\dots ,X_{a_{n},n}\ }$ un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs p_k,n. On note

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,X_{k,n}\quad {\text{et}}\quad \lambda _{n}\ =\ \mathbb {E} [S_{n}]=\sum _{k=1}^{a_{n}}\,p_{k,n}.\ }$

Dans l'énoncé du paradigme de Poisson, on fait deux hypothèses (vagues) sur les termes d'une somme S_n de variables de Bernoulli :

• les paramètres des variables de Bernoulli sont petits ; or les deux conditions ci-dessus entraînent que

${\displaystyle \lim _{n}\,\left(\max _{1\leq k\leq a_{n}}\,p_{k,n}\right)\,=\,0,\ }$ ce qui reformule l'hypothèse « les paramètres des variables de Bernoulli sont petits » de manière plus précise ;

• il y a un grand nombre de termes ; or les deux conditions ci-dessus entrainent que le nombre de termes tend vers l'infini :

${\displaystyle \lim _{n}a_{n}\,=\,+\infty .\ }$

Domaines d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz^[12]).

Mais, depuis la fin du XX^e siècle, son champ d'application s'est considérablement élargi. On l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique (nombre de défauts en SPC), la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de paramètre noté aussi lambda), la biologie (mutations dans l'expérience de Luria et Delbrück, nombre de potentiels d'actions émis par un neurone en neurosciences), la météorologie, la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit, le Yield Management (American Airlines, Lufthansa et SAS pour estimer la demande de passagers), etc.

La loi de Poisson est également utilisable dans le cadre sportif. Elle peut être utilisée afin d'effectuer des prédictions statistiques sur le nombre de buts inscrits lors d'un match. Les probabilités issues de ce modèle permettent aux bookmakers de définir leurs cotes.

En littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité, un des personnages, le statisticien Roger Mexico, utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville de Londres durant la Seconde Guerre mondiale.

Notes et références

Voir aussi

• Régression de Poisson
• Processus de Poisson

Articles connexes

• Probabilité
• Probabilité (mathématiques élémentaires)
• Loi de probabilité
• Loi de Bernoulli
• Données de comptage

Lien externe

• Arthur Charpentier, « La loi des petits nombres », sur Freakonometrics, 2014

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