Loi d'Erlang

Erlang
Densité de probabilité Graphes de densités pour la distribution d'Erlang.
Fonction de répartition Graphes de fonctions de répartition pour la distribution d'Erlang.
Paramètres	${\displaystyle k\geq 1\,}$ Paramètre de forme (entier) ${\displaystyle \lambda >0\,}$ intensité (réel) alt.: ${\displaystyle \theta =1/\lambda >0\,}$ paramètre d'échelle (réel)
Support	${\displaystyle x\in [0;\infty )\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!}$
Espérance	${\displaystyle k/\lambda \,}$
Médiane	pas de forme simple
Mode	${\displaystyle (k-1)/\lambda \,}$ pour ${\displaystyle k\geq 1\,}$
Variance	${\displaystyle k/\lambda ^{2}\,}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropie	${\displaystyle k/\lambda +(k-1)\ln(\lambda )+\ln((k-1)!)\,}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)\,}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle (1-t/\lambda )^{-k}\,}$ pour ${\displaystyle t<\lambda \,}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle (1-it/\lambda )^{-k}\,}$
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La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Généralités

La distribution est continue et possède deux paramètres : le paramètre de forme ${\displaystyle k}$, un entier, et le paramètre d'intensité ${\displaystyle \lambda }$, un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\lambda }}}$.

Lorsque le paramètre de forme ${\displaystyle k}$ vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme ${\displaystyle k}$ est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif supérieur ou égal à 1.

Caractérisation

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}\exp(-\lambda x) \over (k-1)!}\quad {\mbox{pour }}x>0.}$

Le paramètre ${\displaystyle k}$ est le paramètre de forme, et ${\displaystyle \lambda }$ le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle ${\displaystyle \theta }$, défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire ${\displaystyle \theta =1/\lambda }$) :

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}\exp(-{\frac {x}{\theta }})}{\theta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{pour }}x>0.}$

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1. Mais la loi Gamma généralise la distribution d'Erlang où ce paramètre k est un réel quelconque positif supérieur ou égale à 1. L'expression de la fonction de densité de probabilité est obtenue en remplaçant ${\displaystyle (k-1)!}$ par ${\displaystyle \Gamma (k)}$, qui la valeur prise par la fonction gamma en k.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

${\displaystyle F(x;k,\lambda )={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}}$

où ${\displaystyle \gamma ()}$ est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire :

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {(\lambda x)^{n}}{n!}}}$

Occurrences

Processus de renouvellement

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre ${\displaystyle \lambda }$. Si chacune de ces variables aléatoires ${\displaystyle X_{i}}$ représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire ${\displaystyle T_{k}=X_{1}+\dots +X_{k}}$ au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre ${\displaystyle \lambda }$.

Processus de Poisson

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire ${\displaystyle N_{t}}$ égale au nombre d'entiers k tels que ${\displaystyle T_{k}\leq t}$ suit une loi de Poisson de paramètre ${\displaystyle \lambda t}$^[1]. Dans l'interprétation ci-dessus, ${\displaystyle N_{t}}$ est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

Voir aussi

• Processus de Poisson
• Loi binomiale négative : cette loi est l'analogue de la loi d'Erlang dans le cas discret.

Liens externes

• Erlang Distribution
• An Introduction to Erlang B and Erlang C by Ian Angus [PDF]
• Resource Dimensioning Using Erlang-B and Erlang-C
• Erlang-C

Références

• Portail des probabilités et de la statistique