Loi bêta Densité de probabilité Fonction de répartition Paramètres α > 0 {\displaystyle \alpha >0} forme (réel ) β > 0 {\displaystyle \beta >0} Support x ∈ ] 0 ; 1 [ {\displaystyle x\in ]0;1[\!} Densité de probabilité x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!} Fonction de répartition I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!} Espérance α α + β {\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!} Mode α − 1 α + β − 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!} α > 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha >1,\beta >1} Variance α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!} Asymétrie 2 ( β − α ) α + β + 1 ( α + β + 2 ) α β {\displaystyle 2\,{\frac {(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}} Kurtosis normalisé 6 ( β − α ) 2 ( α + β + 1 ) − α β ( α + β + 2 ) α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) {\displaystyle 6\,{\tfrac {(\beta -\alpha )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!} Fonction génératrice des moments 1 F 1 ( α ; α + β ; t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;t)\!} ∑ k = 0 ∞ ( B ( α + k , β ) B ( α , β ) ) t k k ! {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}} Fonction caractéristique 1 F 1 ( α ; α + β ; i t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!} modifier
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur ]0, 1[ , paramétrée par deux paramètres de forme , typiquement notés α β
Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT.
Caractérisation Fonction de densité Fixons les deux paramètres (α , β ) dans l'intervalle ]0, +∞[. La densité de probabilité de la loi bêta vaut 0 partout sauf sur ]0, 1[. Pour tout x ∈ ] 0 , 1 [ {\displaystyle x\in ]0,1[}
f ( x ; α , β ) = c o n s t a n t e ⋅ x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constante} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}} La constante multiplicative permet à la densité de s'intégrer à l'unité. On note donc que α – 1 x {\displaystyle x} β – 1 ( 1 − x ) {\displaystyle (1-x)}
Plus précisément, la constante vaut 1 ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u = 1 B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {1}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,\mathrm {d} u}}={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}} Β est la fonction bêta . On rappelle que B ( α , β ) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}} Γ est la fonction gamma. Pour résumer on a :
f ( x ; α , β ) = x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 ∫ 0 1 u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 = 1 B ( α , β ) x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}} Fonction de répartition La fonction de répartition est
F ( x ; α , β ) = B x ( α , β ) B ( α , β ) = I x ( α , β ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!} où B x ( α , β ) := ∫ 0 x u α − 1 ( 1 − u ) β − 1 d u . {\displaystyle \mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta ):=\int _{0}^{x}u^{\alpha -1}\,(1-u)^{\beta -1}\,du.} I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
Propriétés Moments La fonction génératrice des moments est
1 F 1 ( α ; α + β ; t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;t)} où 1 F 1 fonction hypergéométrique confluente , aussi notée M ( α ; α + β ; t ) {\displaystyle {}M(\alpha ;\alpha +\beta ;t)}
Sa fonction caractéristique est
1 F 1 ( α ; α + β ; i t ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;\mathrm {i} t)} Formes La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:
α < 1 , β < 1 {\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1} α < 1 , β ≥ 1 {\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1} α = 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1} α = 1 , β > 2 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2} convexe ; α = 1 , β = 2 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2} α = 1 , 1 < β < 2 {\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2} concave ; α = 1 , β = 1 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1} loi uniforme continue ; α = 1 , β < 1 {\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1} α > 1 , β ≤ 1 {\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1} α > 2 , β = 1 {\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1} α = 2 , β = 1 {\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1} 1 < α < 2 , β = 1 {\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1} α > 1 , β > 1 {\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1} Qui plus est, si α = β {\displaystyle \alpha =\beta }
Généralisations La loi bêta peut se généraliser en :
Estimation des paramètres Soit la moyenne empirique
x ¯ = 1 N ∑ i = 1 N x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}} et la variance empirique.
v = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle v={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}} La méthode des moments fournit les estimations suivantes[ 1]
α = x ¯ ( x ¯ ( 1 − x ¯ ) v − 1 ) , {\displaystyle \alpha ={\bar {x}}\left({\frac {{\bar {x}}(1-{\bar {x}})}{v}}-1\right),} β = ( 1 − x ¯ ) ( x ¯ ( 1 − x ¯ ) v − 1 ) . {\displaystyle \beta =(1-{\bar {x}})\left({\frac {{\bar {x}}(1-{\bar {x}})}{v}}-1\right).} Distributions associées Si X {\displaystyle X} T = X 1 − X {\displaystyle T={\frac {X}{1-X}}} loi bêta prime . La loi bêta-binomiale est la loi conjuguée de la loi bêta. Si X ∼ U ( 0 ; 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0;1)} loi uniforme continue , alors X r ∼ Beta ( 1 / r , 1 ) {\displaystyle X^{r}\sim \operatorname {Beta} (1/r,1)\ } r > 0 {\displaystyle r>0} Si X ∼ Beta ( α , 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,1)} − ln ( X ) ∼ Exp ( α ) {\displaystyle -\ln(X)\sim \operatorname {Exp} (\alpha )} loi exponentielle . Si X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} Gamma , de paramètres ( α , θ ) {\displaystyle (\alpha ,\theta )} ( β , θ ) {\displaystyle (\beta ,\theta )} X X + Y {\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}} B e t a ( α , β ) {\displaystyle \mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )} La k -ème statistique d'ordre d'un n -échantillon de lois uniformes U ( 0 ; 1 ) {\displaystyle \operatorname {U} (0;1)\,} Beta ( k , n − k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Beta} (k,n-k+1)\ } La loi Beta ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {Beta} (1/2,1/2)} loi arc sinus . La loi bêta peut s'interpréter comme marginale d'une loi de Dirichlet . En effet, si ( X 1 , … , X n ) ∼ Dirichlet ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Dirichlet} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})} X i ∼ Beta ( α i , ∑ k = 1 n α k − α i ) . {\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Beta} \left(\alpha _{i},\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}-\alpha _{i}\right).} Exemple d'occurrence de la loi bêta La loi bêta apparaît naturellement dans une expérience d'urnes , donnée par George Pólya dans un article de 1930, Sur quelques points de la théorie des probabilités [ 2] r boules rouges et b boules bleues, on tire une boule dans l'urne, puis on la remet dans l'urne avec une deuxième boule de même couleur. Alors la proportion de boules rouges tend vers une variable aléatoire de loi Βeta(r , b ) , et, inversement, la proportion de boules bleues tend vers une variable aléatoire de loi Βeta(b , r ) .
Ce processus étudié par Pólya est ce que l'on appelle aujourd'hui un processus renforcé.
Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Beta distribution » (voir la liste des auteurs) .
↑ (en) « Beta distribution with given mean and variance », 7 avril 2021 ↑ George Pólya, « Sur quelques points de la théorie des probabilités », Annales de l'Institut Henri Poincaré , 1930 , p. 150 (lire en ligne, consulté le 5 décembre 2018 ) Voir aussi Liens externes (en) Beta Distribution par Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project (en) Beta Distribution – Overview and Example, xycoon.com(fr) Article de Gearge Polya, "Sur quelques points de la théorie des probabilité, archive de l'institut Henri Poincaré, numdam.org(en) Beta Distribution, brighton-webs.co.ukPortail des probabilités et de la statistique 
![{\displaystyle x\in ]0;1[\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dc86cd562f9f74dbd8d52a097d665a23a263e3)
![{\displaystyle x\in ]0,1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee8129984ada9f4224a6ffbe788b602a750daa3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dbc7c4141bc25a2cbcd98bc4d26285315e7348)
Portail des probabilités et de la statistique 
