Valeur absolue des écarts

En statistique, la déviation absolue moyenne (ou simplement déviation moyenne) d'un ensemble est la moyenne (ou valeur prévue) des déviations absolues par rapport à un point central d'une série statistique. C'est une statistique sommaire de dispersion ou de variabilité statistique, et elle peut être associée à toute mesure à une tendance centrale (moyenne, médiane, mode...).

Déviation absolue

La déviation absolue d'un élément a d'un ensemble de données x par rapport à un réel x est |a – x|.

Typiquement le réel x à partir duquel la déviation est mesurée est une mesure de tendance centrale, telle que la valeur de la moyenne, d'une médiane ou d'un mode de l'ensemble de données.

Déviations moyennes

La déviation absolue moyenne d'un ensemble ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ par rapport à un réel x est définie par

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|}$

Le choix de mesure de la tendance centrale x a un effet marqué sur la valeur de la déviation moyenne.

Par exemple, pour l'ensemble {2, 2, 3, 4, 14}, en prenant pour mesure la moyenne, la médiane et le mode, on obtient

Mesure de la tendance centrale	Valeur	Déviation absolue
Moyenne	5	${\displaystyle {\frac {|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|}{5}}=3{,}6}$
Médiane	3	${\displaystyle {\frac {|2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|}{5}}=2{,}8}$
Mode	2	${\displaystyle {\frac {|2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|}{5}}=3{,}0}$

Déviation absolue moyenne d'une médiane

Les médianes d'un ensemble sont les valeurs qui minimisent la déviation absolue moyenne.

En particulier, la déviation absolue moyenne d'une médiane est inférieure ou égale à la déviation absolue moyenne de la moyenne et à la déviation absolue du mode.

Déviation absolue moyenne de la moyenne

La déviation absolue moyenne de la moyenne est inférieure ou égale à l'écart type. Une façon de le prouver repose sur l'inégalité de Jensen.

La déviation absolue moyenne est la déviation absolue moyenne de la moyenne et est une action commune d'erreur prévue dans l'analyse de séries chronologiques. Bien que la déviation moyenne soit employée comme synonyme de déviation absolue moyenne, c'est en toute rigueur inexact ; stricto sensu (c’est-à-dire sans l'opération valeur absolue), la déviation moyenne de n'importe quel ensemble de données de son moyen est toujours zéro.

Voir aussi

Articles connexes

• Moyenne
• Médiane (statistiques)
• Médiane géométrique

• Portail des probabilités et de la statistique