Test de Bartlett

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Test de Bartlett

Type	Test statistique, concept mathématique (en)
Nommé en référence à	Maurice Stevenson Bartlett

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En statistique, le test de Bartlett du nom du statisticien anglais Maurice Stevenson Bartlett (18 juin 1910 – 8 janvier 2002) est utilisé en statistique pour évaluer si k échantillons indépendants sont issus de populations de même variance (condition dite d'homoscédasticité). C'est un test paramétrique.

Tout comme le test de Fisher, le test d'égalité des variances de Bartlett s'effondre totalement dès que l'on s'écarte, même légèrement, de la distribution gaussienne^[1],[2]. Cependant, le test de Levene et le test de Brown-Forsythe sont plus robustes, c'est-à-dire moins sensibles aux écarts par rapport à l'hypothèse de normalité, et sont des alternatives crédibles au test de Bartlett et au test de Fisher^[3].

Formalisation

Le test de Bartlett est utilisé pour évaluer l'hypothèse nulle, H₀, d'après laquelle les variances de k échantillons tirés sont identiques, contre l'hypothèse alternative, H1, qu'au moins deux d'entre elles sont différentes.

Soit k échantillons de taille ${\displaystyle n_{i}}$ et de variances empiriques ${\displaystyle S_{i}^{2}}$, alors la statistique de test est telle que :

${\displaystyle X^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}}$

où ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ et ${\displaystyle S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i}(n_{i}-1)S_{i}^{2}}$ est l'estimation globale de la variance.

Sous l'hypothèse nulle, le test statistique suit approximativement une loi du ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$. Le critère du test est tel que l'hypothèse nulle est rejetée si ${\displaystyle X^{2}>\chi _{k-1,\alpha }^{2}}$,

où ${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}}$ est la valeur critique limite supérieure de la distribution ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$.

Généralisation du test de Bartlett

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Références

Bibliographie

• Bartlett, M. S. (1937). "Properties of sufficiency and statistical tests". Proceedings of the Royal Statistical Society, Series A 160, 268–282 JSTOR:96803.
• Brown, Morton B.; Forsythe, Alan B. (1974), "'Robust tests for equality of variances", Journal of the American Statistical Association 69: 364–367.
• Levene, Howard (1960). Ingram Olkin, Harold Hotelling, et alia, ed. Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford University Press. pp. 278–292.
• Snedecor, George W. and Cochran, William G. (1989), Statistical Methods, Eighth Edition, Iowa State University Press. (ISBN 978-0-8138-1561-9).

Articles connexes

• Loi du χ²
• Test de Fisher

Notes

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

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