Quaternion hyperbolique

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L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane. L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions de Hamilton, c'est une algèbre réelle de dimension 4.

Une combinaison linéaire :

${\displaystyle q=a+b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} }$

est un quaternion hyperbolique si ${\displaystyle a,b,c}$ et ${\displaystyle d}$ sont des nombres réels, et les unités ${\displaystyle 1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} }$ sont telles que :

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {i} \mathrm {j} =-\mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {k} \\\mathrm {j} \mathrm {k} =-\mathrm {k} \mathrm {j} =\mathrm {i} \\\mathrm {k} \mathrm {i} =-\mathrm {i} \mathrm {k} =\mathrm {j} \\\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =+1\end{cases}}}$

Soit :

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle \mathrm {k} }$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle \mathrm {k} }$
${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {k} }$	${\displaystyle -\mathrm {j} }$
${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle -\mathrm {k} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {i} }$
${\displaystyle \mathrm {k} }$	${\displaystyle \mathrm {k} }$	${\displaystyle \mathrm {j} }$	${\displaystyle -\mathrm {i} }$	${\displaystyle 1}$

La différence entre les quaternions et les quaternions hyperboliques est donc la valeur du carré ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=+1}$. Elle vaut ${\displaystyle -1}$ pour les quaternions et ${\displaystyle +1}$ pour les quaternions hyperboliques.

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble ${\displaystyle \{1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} ,-1,-\mathrm {i} ,-\mathrm {j} ,-\mathrm {k} \}}$ forme un quasigroupe.

Exemple de non-associativité : ${\displaystyle \left(\mathrm {i} \mathrm {j} \right)\mathrm {j} =\mathrm {k} \mathrm {j} =-\mathrm {i} }$ alors que ${\displaystyle \mathrm {i} \left(\mathrm {j} \mathrm {j} \right)=\mathrm {i} \times 1=\mathrm {i} }$.

Si l'on définit le conjugué ${\displaystyle q^{*}}$ de ${\displaystyle q}$ par

${\displaystyle q^{*}=a-b\mathrm {i} -c\mathrm {j} -d\mathrm {k} }$

alors le produit

${\displaystyle \|q\|:=qq^{*}=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$ est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski, pour la convention ${\displaystyle +---}$.

Soit ${\displaystyle X(\mathrm {c} t,x,y,z)}$ un point de l'espace temps et ${\displaystyle X^{*}(\mathrm {c} t,x,y,z)}$ son conjugué. ${\displaystyle \|X\|=\mathrm {c} ^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ est le carré de la pseudo-norme de ${\displaystyle X}$ dans l'espace de Minkowski.

Articles connexes

• Octonion
• Nombre hypercomplexe
• Théorème de Frobenius

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley–Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

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