Biquaternion

En mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au XIX^e siècle. William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente.

Il y a aussi une autre notion de biquaternions, distincte : une algèbre de biquaternions sur un corps commutatif K est une algèbre qui est isomorphe au produit tensoriel de deux algèbres de quaternions sur K (sa dimension est 16 sur K, et non pas 8 sur R).

Définition

Soit ${\displaystyle {1,i,j,k}\,}$, la base pour les quaternions (réels), et soient ${\displaystyle u,v,w,x\,}$ des nombres complexes, alors

${\displaystyle q=u+vi+wj+xk}$

est un biquaternion. Les scalaires complexes sont supposés commuter avec les vecteurs de la base des quaternions (c.-à-d. vj = jv). En opérant judicieusement avec l'addition et la multiplication, en accord avec le groupe des quaternions, cette collection forme une algèbre à 4 dimensions sur les nombres complexes. L'algèbre des biquaternions est associative, mais pas commutative.

L'algèbre des biquaternions peut être considérée comme un produit tensoriel ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ où ${\displaystyle \mathbb {C} }$ est le corps des nombres complexes et ${\displaystyle \mathbb {H} }$ est l'algèbre des quaternions réels.

Place dans la théorie des anneaux

Représentation linéaire

Notez que le produit matriciel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$

où chacune de ces matrices possède un carré égal au négatif de la matrice identité. Lorsque le produit matriciel est interprété comme ${\displaystyle ij=k}$, on obtient alors un sous-groupe du groupe des matrices qui est isomorphe au groupe des quaternions. En conséquence,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}}$ représente le biquaternion q.

Étant donné une matrice complexe 2×2 quelconque, il existe des valeurs complexes u, v, w et x pour la tourner dans cette forme, c’est-à-dire que l'anneau de matrices (en) est isomorphe à l'anneau des biquaternions.

Plan complexe alternatif

Supposons que nous prenions w purement imaginaire, ${\displaystyle w=b\iota }$, où ${\displaystyle \iota ~\iota =-1}$. (Ici, on utilise ${\displaystyle \iota \,}$ à la place de i pour l'imaginaire complexe pour le distinguer du quaternion i.) Maintenant, lorsque r = w j, alors son carré est

${\displaystyle r~r=(wj)(wj)=(ww)(jj)=bb(-1)(-1)=b^{2}.}$

En particulier, lorsque b = 1 ou –1, alors ${\displaystyle r^{2}=+1}$. Ce développement montre que les biquaternions sont une source de « moteurs algébriques » comme r qui élevé au carré donne +1. Alors ${\displaystyle \{a+b~\iota ~j\mid a,b\in \mathbb {R} \}}$ est un sous-anneau des biquaternions isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus.

Application en physique relativiste

L'équation de Dirac permet une modélisation du changement de spin de l'électron et l'introduction du positron par une nouvelle théorie du moment cinétique orbital

Présentation du groupe de Lorentz

Les biquaternions ${\displaystyle \sigma _{1}:=\iota k}$, ${\displaystyle \sigma _{2}:=\iota j}$ et ${\displaystyle \sigma _{3}:=-\iota i}$ ont été utilisés par Alexander Macfarlane et plus tard, sous leur forme matricielle par Wolfgang Pauli. Elles ont été connues sous le nom de matrices de Pauli. Elles ont chacune pour carré la matrice identité et par conséquent la sous-algèbre ${\displaystyle \{a+b~\sigma \mid a,b\in \mathbb {R} \}}$ engendrée par l'une d'entre elles dans l'anneau des biquaternions est isomorphe à l'anneau des nombres complexes fendus. Par conséquent, une matrice de Pauli ${\displaystyle \sigma }$ engendre un groupe à un paramètre ${\displaystyle \{\exp(a\sigma )\mid a\in \mathbb {R} \}}$ dont les actions sur la sous-algèbre sont des rotations hyperboliques. Le groupe de Lorentz est un groupe de Lie à six paramètres, trois paramètres (c.-à-d. les sous-groupes engendrés par les matrices de Pauli) sont associés avec les rotations hyperboliques, quelquefois appelées « boosts ». Les trois autres paramètres correspondent aux rotations ordinaires dans l'espace, une structure des quaternions réels connue sous le nom de quaternions et rotation dans l'espace. La vue habituelle par une forme quadratique de cette présentation est que u² + v² + w² + x² = q q* est conservée par le groupe orthogonal sur les biquaternions lorsqu'il est vu comme ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$. Lorsque u est réel et v, w et x sont des imaginaires purs, on obtient le sous-espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ qui convient pour modéliser l'espace-temps.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Biquaternion » (voir la liste des auteurs).
• (en) Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, 1949, p. 304-312.
• (en) Ludwik Silberstein, « Quaternionic form of relativity », Philos. Mag., 6^e série, vol. 23, n^o 137,‎ 1912, p. 790-809 (DOI 10.1080/14786440508637276).
• (en) L. Silberstein, The Theory of Relativity, 1914.
• (en) John Lighton Synge, Quaternions, Lorentz transformations, and the Conway-Dirac-Eddington matrices, coll. « Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies / A » (n^o 21), 1972, 67 p.
• (en) Clive W. Kilmister (en), Eddington's Search for a Fundamental Theory : A Key to the Universe, CUP, 2005 (1^re éd. 1994), 272 p. (ISBN 978-0-521-01728-2, présentation en ligne), p. 121-122 et 179-180.

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley–Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

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