Matrices congruentes

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En algèbre linéaire, deux matrices carrées A et B (de même taille et à coefficients dans un même corps K) sont dites congruentes si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P telle que^[1]

${\displaystyle B=P^{\mathsf {T}}AP,}$

où P^T est la transposée de P.

Propriétés

La congruence définit une relation d'équivalence sur les matrices carrées de même taille à coefficients dans K.

Deux matrices congruentes ont même rang.

Sur un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique de rang r est congruente à une matrice diagonale à r coefficients non nuls^[2].

Toute matrice symétrique réelle est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, des 1 et –1 sur la diagonale.

Deux matrices symétriques réelles A et B sont congruentes si et seulement si elles ont la même signature^[3].

Notes et références

Articles connexes

• Changement de base pour une forme bilinéaire
• Discriminant d'une forme quadratique
• Loi d'inertie de Sylvester

• Portail de l’algèbre