Matrice de Casteljau

Les matrices de Casteljau sont des matrices de Markov triangulaires (ou leurs transposées suivant les conventions) principalement utilisées dans l'algorithme de Casteljau.

Pour une taille N fixée, il y a deux matrices D₀ et D₁ définies par

${\displaystyle [D_{0}]_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}B_{i}^{j}(1/2)&{\textrm {si}}&j<i\\0&{\textrm {sinon}}&\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle [D_{1}]_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}B_{i}^{N-j}(1/2)&{\textrm {si}}&j<i\\0&{\textrm {sinon}}&\end{matrix}}\right.}$

où les ${\displaystyle B_{i}^{j}}$ sont les polynômes de Bernstein

Exemple (pour N=4)

${\displaystyle D_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1/4&1/2&1/4&0\\1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{pmatrix}}\ {\textrm {et}}\ D_{1}={\begin{pmatrix}1/8&3/8&3/8&1/8\\0&1/4&1/2&1/4\\0&0&1/2&1/2\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Remarque : Il n'est pas nécessaire d'évaluer les polynômes de Bernstein en 1/2 car les matrices resteraient markoviennes (par une propriété des polynômes de Bernstein). N'importe quelle valeur de [0,1] pourrait convenir, mais ce choix augmente la rapidité de l'algorithme en moyenne.^{[réf. nécessaire]}

Voir aussi

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