Statistique de Bose-Einstein

Statistique de Bose-Einstein
Type
Théorie scientifique, statistiqueVoir et modifier les données sur Wikidata
Nommé en référence à
Satyendranath Bose, Albert EinsteinVoir et modifier les données sur Wikidata
Aspect de
Distribution statistique des particules (en)Voir et modifier les données sur Wikidata
Formule
n i = g i exp ⁡ ( E i − μ k B T ) − 1 {\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}} Voir et modifier les données sur Wikidata

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En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question résulte d'une particularité des bosons : les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique.

Distribution de Bose-Einstein

La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre ni de particules d'énergie Ei est

n i = g i exp ⁡ ( E i − μ k B T ) − 1 {\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}\,}

où :

Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique

L'entropie d'un système constitué par des bosons indiscernables, décrits par des fonctions d'onde symétriques (spin entier), peut être trouvée en utilisant la description statistique due à J. Willard Gibbs[1]. Elle vaut

S = k B ∑ j G j [ ( 1 + n j ) log ⁡ ( 1 + n j ) − n j log ⁡ n j ] {\displaystyle S=k_{\rm {B}}\sum _{j}G_{j}\left[(1+n_{j})\log {(1+n_{j})}-n_{j}\log n_{j}\right]}

où

kB   constante de Boltzmann,
nj   nombre d'occupation (proportion de bosons dans un état d'énergie donné),
Gj   nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence).
Démonstration

En suivant la méthode énoncée par J.W. Gibbs en physique statistique on dénombre dans le système étudié les bosons d'énergie Ej, leur nombre dans ce groupe Nj, chacun de ces groupes pouvant comporter Gj états. Le calcul de l'entropie revient à calculer le poids statistique Ω d'un tel système, c'est-à-dire le nombre de micro-états accessibles permettant de réaliser cet état macroscopique. Chaque groupe étant supposé indépendant on a Ω = Πj Ωj. Le problème est donc ramené à la connaissance de Ωj.

Le nombre de possibilités de répartir Nj particules indiscernables dans Gj états est

Ω j = ( G j + N j − 1 ) ! ( G j − 1 ) ! N j ! {\displaystyle \Omega _{j}={\frac {(G_{j}+N_{j}-1)!}{(G_{j}-1)!N_{j}!}}}

En utilisant la formule de Stirling, on retient l'approximation   log ⁡ N ! ≈ N log ⁡ N {\displaystyle \log {N!}\approx N\log {N}}   on calcule l'entropie (on supposera que 1 est négligeable devant Nj ou Gj)

S = k B log ⁡ Ω = k B ∑ j log ⁡ Ω j = k B ∑ j [ − G j log ⁡ G j − N j log ⁡ N j + ( G j + N j ) log ⁡ ( G j + N j ) ] {\displaystyle S=k_{\rm {B}}\log \Omega =k_{\rm {B}}\sum _{j}\log \Omega _{j}=k_{\rm {B}}\sum _{j}\left[-G_{j}\log {G_{j}}-N_{j}\log {N_{j}}+(G_{j}+N_{j})\log {(G_{j}+N_{j})}\right]}

Soit, en introduisant le nombre d'occupation   n j = N j G j {\displaystyle n_{j}={\tfrac {N_{j}}{G_{j}}}}

S = k B ∑ j G j [ ( 1 + n j ) log ⁡ ( 1 + n j ) − n j log ⁡ n j ] {\displaystyle S=k_{\rm {B}}\sum _{j}G_{j}\left[(1+n_{j})\log {(1+n_{j})}-n_{j}\log n_{j}\right]}

Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de bosons N = ∑ i G i n i {\displaystyle N=\sum _{i}G_{i}n_{i}}   et l'énergie totale   E = ∑ i n i G i E i {\displaystyle E=\sum _{i}n_{i}G_{i}E_{i}} . En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie

∂ ∂ n j ( S − α N − β E ) = 0 , ∀ j {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n_{j}}}\left(S-\alpha N-\beta E\right)=0\,,\qquad \forall j}

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Bose-Einstein

n j = 1 e α + β E j − 1 {\displaystyle n_{j}={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\alpha +\beta E_{j}}-1}}}

On peut retrouver les valeurs de α et β à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, α = –μ β et β = (kBT)-1.

Limite classique et comparaison avec les fermions

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :

  • avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
  • avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus gi fermions.

Condensat de Bose-Einstein

Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.

Notes et références

  • Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Entropie (bosons) » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Statistical Physics, Pergamon Press, (lire en ligne)

Voir aussi

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Bibliographie

  • [Bose 1924] (de) Satyendra Nath Bose (trad. de l'anglais par Albert Einstein), « Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese » [« La loi de Planck et l'hypothèse des quanta de lumière »], Zeitschrift für Physik, vol. 26,‎ , p. 178-181 (OCLC 4646217659, DOI 10.1007/BF01327326, Bibcode 1924ZPhy...26..178B, résumé, lire en ligne [PDF]) :
    • [Bose 2005] Satyendra Nath Bose (trad. de l'allemand par Georges Frick), La loi de Planck et l'hypothèse des quantas de lumière, dans José Leite-Lopes et Bruno Escoubès (éd. et av.-prop.) (préf. de Jean-Marc Lévy-Leblond), Sources et évolution de la physique quantique : textes fondateurs, Les Ulis, EDP Sciences, hors coll., , 1re éd., 1 vol., XIV-316, ill., fig., graph. et portr., 16 × 24 cm (ISBN 2-86883-815-4, EAN 9782868838155, OCLC 80146859, BNF 39987077, SUDOC 094109842, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3, sect. 3.1, art. VIII [« La statistique des bosons »], p. 85-88.
  • [Einstein 1924] (de) Albert Einstein, « Quantentheorie des einatomigen idealen Gases » [« Théorie quantique du gaz parfait monoatomique »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ , p. 261-267.
  • [Einstein 1925a] (de) Albert Einstein, « Quantentheorie des einatomigen idealen Gases : zweite Abhandlung » [« Théorie quantique du gaz parfait monoatomique : deuxième mémoire »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ , p. 3-14.
  • [Einstein 1925b] (de) Albert Einstein, « Zur Quantentheorie des idealen Gases » [« Théorie quantique du gaz parfait »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ , p. 18-25.

Articles connexes


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