Nombre premier de Fibonacci

Pour les articles homonymes, voir Fibonacci.

Un nombre premier de Fibonacci est un nombre de Fibonacci qui est de plus un nombre premier.

Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que $F_{n}$ divise $F_{kn}$ (voir la propriété 6 dans le § « Propriétés » de l'article sur la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout n > 4, si $F_{n}$ est premier, alors n est premier, mais la réciproque est fausse ( $F_{19}=4181=37\times 113$ est le premier contre-exemple non trivial). En octobre 2015, le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est $F_{81~839}$ ^[1] et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est $F_{2~904~353}$ ^[2], qui a 606 974 chiffres décimaux.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des suites sans nombres premiers (en), c'est-à-dire des suites (T_n) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

T_n+2 = T_n+1 + T_n ;
T_n et T_n+1 sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun) ;
aucun T_n n'est premier.

Dans la suite qu'il proposait (suite A083103 de l'OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux^[3]. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

17 chiffres : suite A083105 (Donald Knuth, 1990) ;
17 et 16 chiffres : suite A083216 (Herbert Wilf, 1990) ;
12 et 11 chiffres : suite A082411 (John Nicol, 1999) ;
12 et 11 chiffres, mais plus petits (Maxim Vsemirnov, 2004^[4]).

Notes et références

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Suite de Fibonacci » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Fibonacci Number, sur le site Prime Pages.
↑ Henri Lifchitz, juillet 2014, PRP Records et suite A001605 de l'OEIS.
↑ On ne sait en fait pas si tous les termes de cette suite sont effectivement composés, à cause d'une erreur de calcul. La suite A083104 en est la version rectifiée en 1990 par Knuth.
↑ (en) M. Vsemirnov, « A New Fibonacci-like Sequence of Composite Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 7, n^o 04.3.7,‎ 2004 (lire en ligne).

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)