Conjecture d'Elliott-Halberstam

En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam.

Notations

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier strictement positif et a est premier avec q, notons π(x; q, a) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque a est premier avec q, on a :

π ( x ; q , a ) ≈ π ( x ) φ ( q ) . {\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}.}

On définit alors la fonction d'erreur

E ( x ; q ) = max ( a , q ) = 1 | π ( x ; q , a ) − π ( x ) φ ( q ) | {\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}

où le max est pris sur tous les a premiers avec q.

Énoncé

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout x ≥ 2 :

∑ 1 ≤ q ≤ x θ E ( x ; q ) ≤ C x ( ln ⁡ x ) A . {\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{(\ln x)^{A}}}.}

La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ][1].

Avancées

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.

Pour les θ < 1⁄2, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri[2] et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

Conséquences de la conjecture

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım[3],[4],[5], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.

Notes et références

Notes

  1. ↑ Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract.
  2. ↑ (en) Enrico Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ , p. 201–225 (DOI 10.1112/s0025579300005313, MR 0197425)
  3. ↑ (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. « math.NT/0508185 », texte en accès libre, sur arXiv.
  4. ↑ (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)
  5. ↑ (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. « math.NT/0506067 », texte en accès libre, sur arXiv.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs).
  • (en) E. Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ , p. 201-225
  • (en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, « A conjecture in prime number theory », Symp. Math., vol. 4,‎ 1968-1969, p. 59-72
  • (en + ru) A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934

Voir aussi

v · m
Donnés par une formule
combinatoire
polynomiale
exponentielle
Mathématiques
Appartenant à une suite
Ayant une propriété remarquable
Ayant une propriété dépendant de la base
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres
singleton
n-uplet
suite
Classement par taille
Généralisations (entier quadratique)
Nombre composé
Nombre connexe
Test de primalité
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres
Constantes liées aux nombres premiers
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres