Formulaire de mécanique

Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives

En coordonnées cartésiennes

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {u}}_{x}+y{\boldsymbol {u}}_{y}+z{\boldsymbol {u}}_{z}}$

La vitesse du point situé en r s'écrit

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}}$,

et l'accélération

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}}$.

En coordonnées cylindriques

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+\rho {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}-\rho \left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right){\boldsymbol {u}}_{\rho }+\left(2{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}+\rho {\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\right){\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}}$.

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$,

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }}$.

En coordonnées sphériques

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=r{\boldsymbol {u}}_{r}}$,

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{r}+r{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\theta }+r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta {\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$;

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=a_{r}{\boldsymbol {u}}_{r}+a_{\theta }{\boldsymbol {u}}_{\theta }+a_{\varphi }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}$,

avec:

${\displaystyle a_{r}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}r}{{\text{d}}t^{2}}}-r\left({\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)}$,

${\displaystyle a_{\theta }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}+2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}-r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)}$

${\displaystyle a_{\varphi }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\sin \theta +2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta +2r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\cos \theta \right)}$.

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Soit un autre référentiel, ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{'}}$, dont l'origine est située au rayon vecteur s dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Le rayon vecteur du point, déterminé dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ est alors

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}$.

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ou dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$. Elles sont notées avec l'indice ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$, de même que les accélérations.

• Vitesse d'entraînement :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}={\dot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}'}$

• Loi de composition des vitesses :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {v}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}}$

• Accélération d'entraînement :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}={\ddot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\wedge {\boldsymbol {r}}'+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge ({\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}')}$

• Accélération de Coriolis :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}=2{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\dot {\boldsymbol {r}}}'_{{\mathcal {R}}'}}$

• Loi de composition des accélérations :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {a}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}}$

Dynamique

Quelques forces

• Poids :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {g}}}$

• Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:

  ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4d^{2}\pi \varepsilon _{0}}}}$

• Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:

  ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {1}{d^{2}}}}$

• Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-k{\boldsymbol {u}}}$

• Frottement fluide :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\lambda {\boldsymbol {v}}}$

• Force d'inertie d'entraînement :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{e}}$

• Force d'inertie de Coriolis:

  ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{c}}$

Principe fondamental de la dynamique

• Vecteur quantité de mouvement :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$ (en général)

• Principe fondamental de la dynamique :

  ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {F}}\;+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}}$

• Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,

  ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{A\rightarrow B}=-{\boldsymbol {F}}_{B\rightarrow A}}$

Aspect énergétique

• Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:

  ${\displaystyle \delta W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}$

• Travail le long d'un chemin ${\displaystyle \Gamma _{AB}}$ :

  ${\displaystyle \displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}\delta W({\boldsymbol {r}})=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {l}}({\boldsymbol {r}})}$

• Puissance :

  ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\displaystyle {\frac {\delta W}{{\text{d}}t}}}$

• On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :

  ${\displaystyle {\mathcal {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}}$

• Énergie cinétique d'un point matériel :

  ${\displaystyle E_{\rm {c}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}}$

• Théorème de l'énergie cinétique :

  ${\displaystyle \displaystyle \Delta E_{\rm {c}}=\sum W({\boldsymbol {F}})\;+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})}$

• Énergie mécanique :

  ${\displaystyle E_{\rm {m}}=E_{\rm {c}}+E_{\rm {p}}}$

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

• Pesanteur :

  ${\displaystyle E_{\rm {p}}=mgz}$..., ceci pour ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=-mg{\boldsymbol {e}}_{z}}$

• Ressort :

  ${\displaystyle E_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}k|{\boldsymbol {u}}|^{2}}$

• Force de Coulomb :

  ${\displaystyle E_{\rm {p}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}}$

• Gravitation :

  ${\displaystyle E_{\rm {p}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}}$

Notion de Moment

• Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})}$

• Par rapport à un autre point r'' :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'')\wedge m{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+m({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})}$

• Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {F}}}$

• Par rapport à un autre point r'' :

  ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {F}}}$

• Théorème du moment cinétique :

  ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {F}})\;+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})}$.

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

• Équation différentielle de la forme :

  ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+\omega _{0}^{2}u=0}$.

• Pulsation propre :

  ${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}}$

• Période propre:

  ${\displaystyle T_{0}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}}$

• Solution sous la forme :

  ${\displaystyle u(t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)}$.

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

• Équation différentielle de la forme :

  ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+2\lambda {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}u=0}$

• Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

  ${\displaystyle \Delta =4(\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2})}$

  • ${\displaystyle \Delta <0}$, soit ${\displaystyle \lambda <\omega _{0}}$, alors

    ${\displaystyle x(t)=e^{-\lambda t}\left[A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)\right]}$ (régime pseudo-périodique)

    Pseudo-pulsation :

    ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}}$ ;

    Pseudo-période :

    ${\displaystyle T=\displaystyle {\frac {2\pi }{\Omega }}}$

  • ${\displaystyle \Delta =0}$, soit ${\displaystyle \lambda =\omega _{0}}$, alors

    ${\displaystyle x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}}$ (régime critique)

  • ${\displaystyle \Delta >0}$, soit ${\displaystyle \lambda >\omega _{0}}$, alors

    ${\displaystyle x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t}+Be^{-{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t})}$ (régime apériodique)

• Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Articles connexes

• Mécanique
• Mécanique newtonienne

• Portail de la physique
• Portail du génie mécanique