Foncteur représentable

On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple.

Définition

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable s'il existe un objet X de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ tel que F soit isomorphe au foncteur ${\displaystyle {\hat {X}}=Hom(.,X):Y\mapsto Hom(Y,X)}$, respectivement au foncteur ${\displaystyle Hom(X,.):Y\mapsto Hom(X,Y)}$.

Lemme de Yoneda

Les transformations naturelles de ${\displaystyle {\hat {X}}}$ dans F correspondent bijectivement aux éléments de ${\displaystyle F(X)}$.

Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par ${\displaystyle (X,\zeta )}$ (où ${\displaystyle \zeta }$ est un élément de F(X)) lorsque ${\displaystyle {\hat {\zeta }}:{\hat {X}}\rightarrow F}$ est un isomorphisme de foncteur.

Foncteurs covariants représentables

• Somme

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie, A et B deux objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. On considère le foncteur de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans Ens qui à X associe ${\displaystyle Hom(A,X)\times Hom(B,X)}$. Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.

• Module libre, groupe libre, groupe abélien libre, monoïde libre, polynômes.

Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre) qui à un A-module ${\displaystyle F}$ (respectivement toute la ribambelle) associe ${\displaystyle F^{I}}$ est représentable. On obtient le A-module libre ${\displaystyle A^{(I)}}$, respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif ${\displaystyle A^{(I)}}$, le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminées.

• Complété

Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espaces métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.

• Compactifié de Stone-Čech

Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.

• Produit tensoriel

Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de ${\displaystyle E\times F}$ dans G.

Foncteurs contravariants représentables

• Produit

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie, A et B deux objets de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. On considère le foncteur de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans Ens qui à X associe ${\displaystyle Hom(X,A)\times Hom(X,B)}$. Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle du produit.

• Topologie induite

Soit X un espace topologique et Y une partie de X. La topologie induite par X sur Y muni de l'injection canonique représente le foncteur de Top dans Ens qui à A associe l'ensemble des applications continues de A dans X dont l'image est incluse dans Y.

• Topologie compacte-ouverte

Soit X un espace topologique localement compact et Y un espace topologique. Le foncteur ${\displaystyle T\mapsto Hom_{Top}(T\times X,Y)}$ est représenté par l'espace des fonctions continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte.

Référence

Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]

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