Định lý Miquel

Định lý Miquel là các định lý trong hình học, đặt theo tên Auguste Miquel,^[1] định lý nổi tiếng nhất nói về ba đường tròn mỗi đường tròn đi qua 2 điểm trên hai cạnh của tam giác và một đỉnh chung của hai cạnh đó. Nội dung định lý như sau: Cho tam giác ABC, với các điểm A´, B´ và C´ lần lượt trên các cạnh BC, AC, và AB khi đó đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB´C´, A´BC´, và A´BC' sẽ đồng quy tại điểm M gọi là điểm Miquel

- Nếu A', B',C' lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC và AB thì điểm Miquel là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Nếu A', B', C' là lần lượt là chân hình chiếu của A, B, C trên BC, AC , AB thì điểm Miquel là trực tâm của tam giác ABC

Định lý Pivot

Nếu như A´, B´ và C´ trong định lý Miquel không thẳng hàng, định lý này còn có tên là định lý Pivot Forder (1960, tr. 17).^[2]

Nếu A´, B´ và C´ thẳng hàng thì điểm Miquel nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và ngược lại nếu như điểm Midquel nằm trên đường tròn ngoại tiếp thì ba điểm A´, B´ và C´ thẳng hàng.^[3]

Định lý Miquel và Steiner về tứ giác

Đường tròn ngoại tiếp của bốn tam giác tạo bởi các đường thẳng là cạnh của một tứ giác đồng quy tại điểm M.^[4]^[4]^[5]

Định lý Miquel về ngũ giác

Cho ngũ giác ABCDE lồi, kéo dài các cạnh cho đến khi chúng gặp nhau tại năm điểm F,G,H,I,K vẽ các đường tròn ngoại tiếp các tam giác CFD, DGE, EHA, AIB vàBKC. Khi đó giao điểm thứ hai của các đường tròn liền kề này là M,N,P,R và Q (các điểm khác A,B,C,D,E) nằm trên một đường tròn.^[6].

Trường hợp đảo đặc biệt của định lý này được biết đến là định lý năm đường tròn.

Định lý Miquel sáu đường tròn

Cho bốn điểm A, B, C, và D nằm trên một đường tròn, vẽ bốn đường tròn đi qua hai điểm liền kề trong bốn điểm trên, khi đó giao điểm thư hai của các đường tròn này cắt nhau tại W, X, Y và Z thì bốn điểm này nằm trên một đường tròn.^[7]^[8]^[9]

Xem thêm

Chú thích

^ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, tr. 94
^ Coxeter & Greitzer 1967, tr. 62
^ Smart 1997, tr. 177
^ ^a ^b Ostermann & Wanner 2012, tr. 96
^ Steiner, J. (1827/1828), “Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet”, Annales de math., 18: 302–304
^ Ostermann & Wanner 2012, tr. 96–97
^ Pedoe 1988, tr. 424
^ Ostermann & Wanner 2012, tr. 352
^ Wells 1991, tr. 151-2

Tham khảo

Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (ấn bản 5), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Miquel's theorem" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Miquel Five Circles Theorem" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Miquel Pentagram Theorem" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Pivot theorem" từ MathWorld.
Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem Lưu trữ 2011-07-18 tại Wayback Machine at Dynamic Geometry Sketches Lưu trữ 2009-03-21 tại Wayback Machine