Bernoulli dağılımı

İstatistik dizisinin bir parçası
Olasılık teorisi
Olasılık Aksiyomlar Determinizm Sistem Belirlenimsizlik Rastgelelik
Olasılık uzayı Örnek uzayı Olay Birlikte kapsayıcı olaylar Temel olay Karşılıklı dışarlayan Sonuç Tek nesne Deney Bernoulli deneyi Olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Normal dağılım Olasılık ölçümü Rassal değişken Bernoulli denemesi Sürekli veya kesikli Beklenen değer Markov zinciri Gözlemlenen değer Rastgele yürüyüş Stokastik süreç
Tümleyen olay Ortak olasılık Marjinal olasılık Koşullu olasılık
Bağımsızlık Koşullu bağımsızlık Toplam olasılık yasası Büyük sayılar yasası Bayes teoremi Boole eşitsizliği
Venn şeması Ağaç şeması
g t d

Bernoulli

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	${\displaystyle 0\leq p\leq 1\,}$ (reel)
Destek	${\displaystyle k=\{0,1\}}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\begin{matrix}q&k=0{\text{ için}}\\p&k=1{\text{ için}}\end{matrix}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}$
Ortalama	${\displaystyle p}$
Medyan	yok
Mod	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}$
Varyans	${\displaystyle pq}$
Çarpıklık	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
Entropi	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle q+pe^{t}}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle q+pe^{it}}$

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve ${\displaystyle q=1-p}$ olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim insanı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir rassal değişken ise;

${\displaystyle \Pr(X=1)=1-\Pr(X=0)=1-q=p.\!}$

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

${\displaystyle f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{eger }}k=1,\\1-p&{\mbox{ eger }}k=0,\\0&{\mbox{diger hallerde.}}\end{matrix}}\right.}$

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer

${\displaystyle E\left(X\right)=p}$,

ve varyans

${\displaystyle {\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}$

olur.

Bernoulli dağılımı için yüksek veya düşük p değerlerinde basıklık ölçüsü sonsuzluğa yaklaşır. Fakat ${\displaystyle p=1/2}$ için basıklık derecesi ölçümü -2 olup, bu değer diğer bütün olasılık dağılımlar için basıklık ölçüleri ile karşılaştırıldığında bunun en küçük olduğu görülür.

Bernoulli dağılımı üstel ailesi içinde bulunan bir dağılımdır.

İlişkili dağılımlar

• Eger ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ bağımsız fakat aynen dağılım gösteren ve her biri p başarı olasılığı ile Bernoulli dağılımı gösteren rassal değişkenler olurlarsa,

${\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {B} (n,p)}$

yani bir binom dağılımdir.

• Kategorik dağılım herhangi bir sabit sayıda aralıklı değerler alan değiskenler ile Bernoulli dağılımının bir genelleştirilmesidir.
• Beta dağılımının eşlenik önseli Bernoulli dağılımıdır.

İçsel kaynaklar

• Bernoulli denemesi
• Bernoulli süreci
• Bernoulli örneklemesi
• Örneklem büyüklüğü