Axioma lui Arhimede

A nu se confunda cu principiul lui Arhimede din hidrostatică!

Axioma lui Arhimede reprezintă o proprietate specifică anumitor grupuri și corpuri din teoria structurilor algebrice.

Alte denumiri:

  • Lema (proprietatea) lui Arhimede
  • Axioma continuității
  • Axioma (teorema) lui Eudoxus.

Istoric

Atribuit lui Arhimede (sec. III î.Hr.), axioma se regăsește în scrierile lui Eudoxus (secolul al IV-lea î.Hr. - Boyer & Merzbach, 1991), iar termenul este introdus de matematicianul austriac Otto Stolz în 1883.

Enunț

Teoremă (principiul sau axioma lui Arhimede). Pentru orice numere reale x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \!} cu y > 0 {\displaystyle y>0\!} există n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} \!} cu x ≤ n y . {\displaystyle x\leq ny.\!}

Pentru a demonstra proprietatea lui Arhimede, se utilizează următoarea teoremă:

Teoremă. Pentru orice număr real x există un număr natural m astfel încât să avem:

x ≤ m ≤ x + 1. {\displaystyle x\leq m\leq x+1.\!}

Demonstrație. Fie x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} \!} fixat. Presupunem că x > n {\displaystyle x>n\!} pentru orice n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .\!} În consecință, mulțimea N {\displaystyle \mathbb {N} \!} este mărginită deci ar admite o margine superioară z ∈ R . {\displaystyle z\in \mathbb {R} .\!} Din definiția marginii superioare, rezultă că există n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} \!} cu z − 1 < n 0 < z , {\displaystyle z-1<n_{0}<z,\!} de unde avem că z = sup N < n 0 + 1 {\displaystyle z=\sup \mathbb {N} <n_{0}+1\!} absurd deoarece N {\displaystyle \mathbb {N} \!} este inductivă (aceasta provine chiar din axiomele mulțimii N {\displaystyle \mathbb {N} \!} ) și ca atare n 0 + 1 ∈ N . {\displaystyle n_{0}+1\in N.\!} Așadar există un m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} \!} cu x ≤ m . {\displaystyle x\leq m.\!}

Fie mulțimea:

A = { n ∈ N | x < n } . {\displaystyle A=\{n\in \mathbb {N} |\;x<n\}.\!}

Mulțimea A este mărginită inferior deci există y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} \!} cu y = inf A . {\displaystyle y=\inf A.\!} Din definiția infimumului există pentru un ε < 1 {\displaystyle \varepsilon <1\!} un m 0 ∈ A {\displaystyle m_{0}\in A\!} cu y < m 0 < y + ε . {\displaystyle y<m_{0}<y+\varepsilon .\!} Fie n ∈ A {\displaystyle n\in A\!} arbitrar. Evident nu putem avea n < y . {\displaystyle n<y.\!} Așadar avem fie y < n < m 0 < y + ε {\displaystyle y<n<m_{0}<y+\varepsilon \!} fie m 0 < n . {\displaystyle m_{0}<n.\!} În prima situație ar rezulta că m 0 − n < ε {\displaystyle m_{0}-n<\varepsilon \!} absurd. Așadar pentru orice n ∈ A {\displaystyle n\in A\!} avem m 0 < n {\displaystyle m_{0}<n\!} ceea ce înseamnă că m 0 inf A . {\displaystyle m_{0}\inf A.\!} întrucât m 0 ∈ A {\displaystyle m_{0}\in A\!} rezultă că x < m 0 {\displaystyle x<m_{0}\!} iar dacă am avea x + 1 < m 0 {\displaystyle x+1<m_{0}\!} ar rezulta că x < m 0 − 1 {\displaystyle x<m_{0}-1\!} deci m 0 {\displaystyle m_{0}\!} nu ar mai fi inf A {\displaystyle \inf A\!} absurd. Așadar avem și relația m 0 < x + 1. {\displaystyle m_{0}<x+1.\!}

Acum pentru demonstrarea proprietății lui Arhimede, se vor considera cazurile:

  • x ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0\!} , atunci se ia n = 1. {\displaystyle n=1.\!}
  • x > 0. {\displaystyle x>0.\!} Având în vedere că x y − 1 > 0 , {\displaystyle xy^{-1}>0,\!} putem aplica teorema precedentă.

Deci există n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} \!} cu x y − 1 < n {\displaystyle xy^{-1}<n\!} de unde rezultă axioma lui Arhimede.

Legături externe

  • WolframAlpha.com Arhivat în , la Wayback Machine.