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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/8%D8%AA%D8%A7%D8%AA%D8%A7%D8%AA%D8%A7%D8%AA%D8%A7%D8%AA.svg/170px-8%D8%AA%D8%A7%D8%AA%D8%A7%D8%AA%D8%A7%D8%AA%D8%A7%D8%AA.svg.png) |
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Na matemática, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.[1] Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.[2]
![{\displaystyle x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe37e93cc3585313bb8993dcb12a5083f072b091)
(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")
Assim, por exemplo,
.
Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).
Propriedades
- Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto da operação. Assim, se
, logo
. Por exemplo:
. - Associativa: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se
, logo
. Por exemplo:
. - Distributiva: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim,
. - Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim,
. - Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.
Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.
Comutatividade da multiplicação de números naturais:
Tomando
temos:
Distributividade da multiplicação de números naturais:
Notação
A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam "5 vezes 2":
![{\displaystyle 5\times 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f53afdb5b319648246342e08230c4a8b69e836)
![{\displaystyle 5\cdot 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494e592f1901abf068780eddb93af3c52a021c5e)
![{\displaystyle (5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e0582f61352113348c14529e5d168e4a1488dc)
![{\displaystyle 5*2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19dffc56567e7b3d274ecf74491cc344b9db6444)
O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:
e ![{\displaystyle xy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0add5fb23e378ec970ad47ea154f8a6431843a8f)
O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.
É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.
Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como
. Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como
.
De forma alternativa, assim como na adição, o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto chamado produtório Π, que é a letra pi maiúscula do alfabeto grego.
Isto é definido como:
![{\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\times x_{m+1}\times x_{m+2}\times \cdots \times x_{n-1}\times x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673b87ae810d9a7289e7435836a6b1b6221664dc)
O subscrito é uma variável muda (
no nosso caso), o limite inferior é (
) e o limite superior é
Assim por exemplo:
![{\displaystyle \prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\times \left(1+{1 \over 3}\right)\times \left(1+{1 \over 4}\right)\times \left(1+{1 \over 5}\right)\times \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184658424cb324d417577de132f4bb16ba202edc)
Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima pelo símbolo para infinito (
). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos
primeiros termos, quando
cresce sem limite. Isto é:
![{\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71ff02902de55d88843768ff8749cd8cc93032f)
Podemos de forma semelhante substituir
por infinito negativo, e
![{\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=-n}^{m}x_{i}\right)\times \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m+1}^{n}x_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6326e1673bd3550f79cd0c34b90c24dcb69fd764)
para algum inteiro
desde que o limite exista.
Indeterminações
Na multiplicação e divisão, existem 3 indeterminações:
![{\displaystyle (\pm {\infty })\div (\pm \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641436cf49820e15bdbe0d0b863406a19a5db5c9)
![{\displaystyle 0\div 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db25f3ad4b9aa99156e83187ca8f38eabded7bd3)
![{\displaystyle 0\times \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2c67d872e7859a5b51d652639651d1e1384df0)
Notas e referências
- ↑ Perides Moisés, Roberto; Castro Lima, Luciano. «Multiplicação: Como funciona e quando utilizar». UOL Educação. Consultado em 2 de maio de 2014 A referência emprega parâmetros obsoletos
|língua2=
(ajuda) - ↑ «NOVA ESCOLA - PLANO DE AULA - Multiplicação mental». Consultado em 18 de maio de 2009. Arquivado do original em 5 de abril de 2009
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