Distribuição exponencial

A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, representada por um parâmetro ${\displaystyle \lambda }$. Sua função de densidade pode ser expressa por:

Em linguagem matemática	Em Português
${\displaystyle f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda e^{-\lambda x}}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$ [1]	A probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor não negativo no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é ${\displaystyle {\color {Red}\lambda e^{-\lambda x}dx}}$. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor negativo é zero.

Repare que existe uma família de distribuições exponenciais (e não apenas uma) - cada uma com um ${\displaystyle \lambda }$ (parâmetro lambda) diferente.

E sua função acumulada:

Em linguagem matemática	Em Português
${\displaystyle F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}1-e^{-\lambda x}}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$	A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a certo valor x* é ${\displaystyle {\color {Red}1-e^{-\lambda x}}}$, se x* for não-negativo, e 0, em caso contrário.

Propriedades

Valor Esperado

${\displaystyle \mathrm {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}\!}$

Variância

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\!}$

Falta de Memória

Se T é uma variável aleatória com distribuição exponencial, então sua probabilidade condicional obedece a equação:

${\displaystyle Pr(T>s+t\;|\;T>s)=Pr(T>t)\;\;{\hbox{para todo}}\ s,t\geq 0.}$

Isso pode ser visto considerando a função de distribuição cumulativa complementar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}$

Isso significa que a probabilidade de que seja necessário esperar, por exemplo, mais que 30 segundos até que o evento aconteça, dado que esse evento não aconteceu antes de 20 segundos, é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 segundos iniciais.

Função Característica

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -it}}\ {\hbox{com}}\ i={\sqrt {-1}}}$

Distribuições relacionadas

• Uma distribuição de Weibull ${\displaystyle f(x;k,\lambda )}$ reduz-se uma distribuição exponencial quando ${\displaystyle k=1}$.
• Distribuição de poisson se a variável aleatória continua T representar o tempo passo entre a ocorrência de dois eventos de poisson, então a probabilidade da não ocorrência no tempo "t" é igual a probabilidade de que o tempo T entre as ocorrências seja maior que "t". Exemplo: Admita que o número de avarias de uma fotocopiadora é um processo de Poisson com taxa λ =5/ano. Calcule a probabilidade do tempo entre avarias consecutivas ser inferior a um mês. Resolução: O tempo X entre avarias consecutivas tem distribuição Exp(5). Assim, a probabilidade pedida é: ${\displaystyle Pr(X<1/12)=Pr(X<{\frac {1}{12}})=Fx({\frac {1}{12}})=1-e^{\frac {-\lambda }{12}}=1-e^{\frac {-5}{12}}=0,3048}$

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição exponencial

Referências

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