W Kendalla

W Kendalla (znane także jako współczynnik zgodności Kendalla) jest statystyką nieparametryczną, unormowaną wersją statystyki testu Friedmana. Statystyka ta może być używana do sprawdzania zgodności pomiędzy rankingami pochodzącymi z wielu źródeł, np. ocenami tej samej rzeczy, pochodzącymi od różnych osób. Jej wartości mieszczą się w przedziale od 0 (brak zgodności) do 1 (pełna zgodność).

Załóżmy, że grupa ludzi była poproszona o uszeregowanie ich sympatii politycznych od najbardziej do najmniej lubianej partii. Jeśli wyliczona na tym zbiorze statystyka W Kendalla będzie równa 1, wszyscy respondenci zgodnie podali ten sam ranking. Jeśli będzie równa 0, prawdopodobnie nie istnieje żadna prawidłowość w odpowiedziach respondentów. Wartości pośrednie odpowiadają mniejszej lub większej zgodności ocen.

W Kendalla zakłada jedynie, że porównywane oceny są co najmniej na skali porządkowej. Nie ma ograniczeń na maksymalną liczbę obserwacji lub zmiennych. W Kendalla jest często używane w psychometrii do szacowania zgodności sędziów kompetentnych.

Obliczanie

Przed przystąpieniem do obliczeń należy porangować każdy ze zbiorów ocen osobno. W Kendalla obliczane jest następnie według wzoru:

W = 12 ⋅ ( ∑ i = 1 N T i 2 ) − ( ∑ i = 1 N T i ) 2 N m 2 ( N 3 − N ) − m ⋅ ∑ j = 1 m ∑ k = 1 s j ( t j k 3 − t j k ) {\displaystyle W=12\cdot {\frac {\left(\sum \limits _{i=1}^{N}T_{i}^{2}\right)-{\frac {\left(\sum \limits _{i=1}^{N}T_{i}\right)^{2}}{N}}}{m^{2}(N^{3}-N)-m\cdot \sum \limits _{j=1}^{m}\sum \limits _{k=1}^{s_{j}}(t_{jk}^{3}-t_{jk})}}}

gdzie:

  • N {\displaystyle N} - liczność próby
  • m {\displaystyle m} – liczba różnych zbiorów ocen (sędziów)
  • T i {\displaystyle T_{i}} – suma rang wszystkich ocen obserwacji i {\displaystyle i}
  • s j {\displaystyle s_{j}} – liczba różnych rang wiązanych (czyli "remisów" w ocenach) u j {\displaystyle j} -tego sędziego
  • t j k {\displaystyle t_{jk}} – liczba obserwacji w k {\displaystyle k} -tej randze wiązanej u j {\displaystyle j} -tego sędziego.

W przypadku braku rang wiązanych wzór upraszcza się do:

W = 12 ⋅ N ( ∑ i = 1 N T i 2 ) − ( ∑ i = 1 N T i ) 2 m 2 ( N 4 − N 2 ) {\displaystyle W=12\cdot {\frac {N\left(\sum \limits _{i=1}^{N}T_{i}^{2}\right)-\left(\sum \limits _{i=1}^{N}T_{i}\right)^{2}}{m^{2}(N^{4}-N^{2})}}}

Zobacz też

  • Maurice Kendall
  • tau Kendalla
  • statystyka nieparametryczna

Bibliografia

  • M. G. Kendall, B. Babington Smith. The Problem of m Rankings. „The Annals of Mathematical Statistics”. 10 (3), s. 275-287, wrzesień 1939. 
  • Maurice G. Kendall: Rank Correlation Methods. Londyn: Charles Griffin & Company Limited, 1948, s. 82.
  • Jerzy Brzeziński: Metodologia badań psychologicznych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1987, s. 500-505. ISBN 83-01-12117-3.