Teoria sit

Teoria sit – dział matematyki, konkretniej teorii liczb, korzystający z rozbudowanego aparatu pojęć i twierdzeń, opartego na sformalizowanej definicji sita. Choć teoria sit uchodzi za poddziedzinę analitycznej teorii liczb, jej podstawy oparte są na elementarnych spostrzeżeniach^[3]. Analityczną część stanowi jedynie operowanie pojęciami takimi, jak gęstość zbioru oraz wypracowywanie wyników będących szacowaniami zamiast tożsamościami^[4].

Głównym przedmiotem badań teorii sit są zbiory przesiewane (ang. sifted sets) będące pewnymi podzbiorami zbioru liczb naturalnych (np. zbiór liczb pierwszych).

Choć nowe podejście umożliwiło otrzymanie wcześniej niespotykanych wyników w teorii liczb, to jednak bez wprowadzania dodatkowych modyfikacji teoria sit nie jest w stanie samodzielnie wykazać efektywnych szacowań z dołu, a jedynie z góry. Problem ten znany jest jako problem parzystości (ang. parity problem) – odnosi się to do sytuacji, w której sito nie jest w stanie odróżnić liczb pierwszych od liczb półpierwszych^[5]. Terrence Tao na swoim blogu opisał go następująco^[6].

Pomimo istnienia problemu rozwój badań pozwolił na wyeliminowanie liczb półpierwszych w pewnych szczególnych przypadkach. Po raz pierwszy dokonali tego John Friedlander oraz Henryk Iwaniec, konstruując sito wyczulone na parzystość (ang. parity-sensitive sieve)^[7].

W ciągu ostatnich kilkunastu lat rozwój teorii sit skoncentrowany jest przede wszystkim na opracowywaniu nowych metod mających pozwolić wykazać m.in. hipotezę liczb pierwszych bliźniaczych^[8][1][2].

Podstawy teorii sit

Oznaczenia

Naśladując literaturę, wprowadzamy następujące oznaczenia:

• ${\displaystyle \sum _{p\leqslant z},}$ ${\displaystyle \prod _{p\leqslant z}}$ oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn po liczbach pierwszych, mniejszych lub równych ${\displaystyle z,}$
• ${\displaystyle \sum _{d|P},}$ ${\displaystyle \prod _{d|P}}$ oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn po całkowitych dodatnich dzielnikach ${\displaystyle P,}$
• ${\displaystyle p_{n}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-tą liczbę pierwszą,
• ${\displaystyle (a,b)}$ oraz ${\displaystyle [a,b]}$ oznaczają odpowiednio największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$
• ${\displaystyle \mu (n)}$ oznacza funkcję Möbiusa,
• ${\displaystyle \varphi (n)}$ oznacza tocjent Eulera,
• ${\displaystyle \Lambda (n)}$ oznacza funkcję von Mangoldta, równą ${\displaystyle \log p}$ dla ${\displaystyle n=p^{k}}$ (${\displaystyle p}$ – liczba pierwsza) oraz 0 w przeciwnym wypadku,
• ${\displaystyle \Lambda _{0}(n)=\Lambda (n)}$ dla ${\displaystyle n}$ będących liczbami pierwszymi oraz 0 w przeciwnym wypadku,
• ${\displaystyle \pi (x)}$ oznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych ${\displaystyle x,}$
• ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ oznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych ${\displaystyle x,}$ przystających do ${\displaystyle a}$ mod ${\displaystyle q,}$
• ${\displaystyle \exp(x)=e^{x},}$
• ${\displaystyle \log x}$ oznacza logarytm naturalny z ${\displaystyle x,}$
• ${\displaystyle O}$ i ${\displaystyle o}$ oznacza notację dużego O i małego o.

Podstawowe definicje

Zasadnicza decyzja o przedmiocie badań polega na wyborze zbioru ${\displaystyle A}$ o elementach będących liczbami naturalnymi. Ponadto wybiera się zbiór ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ o wyrazach w ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ oraz zbiór ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ będący pewnym wybranym podzbiorem zbioru liczb pierwszych ${\displaystyle \mathbb {P} }$ i nazywany obszarem odsiewania (ang. sifting range).

Wprowadzamy oznaczenie

${\displaystyle P(z)=\prod _{\begin{array}{c}p\in {\mathcal {P}}\\p<z\end{array}}p,}$

tzn. ${\displaystyle P(z)}$ jest iloczynem elementów ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ mniejszych od ${\displaystyle z.}$ Głównym celem teorii sit jest oszacowanie funkcji odsiewania (ang. sifting function)^[9]

${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum _{\begin{array}{c}n\leqslant z\\(n,P(z))=1\end{array}}a_{n}.}$

Najczęściej za zbiór ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ przyjmuje się zbiór wszystkich liczb pierwszych, a ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ jest tożsamościowo równy 1. Wówczas funkcja ${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)}$ podaje liczebność zbioru składającego się z elementów ${\displaystyle A}$ mniejszych lub równych ${\displaystyle z}$ i względnie pierwszych z ${\displaystyle P(z).}$

Uwaga: W przypadku, w którym wszystkie wyrazy ${\displaystyle (a_{n})}$ są równe 1, czasami – w celu podkreślenia tego faktu – zamiast ${\displaystyle S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)}$ zapisujemy po prostu ${\displaystyle S(A,{\mathcal {P}},z)}$^[9].

Historia

Prekursorem wykorzystywania sit w celu analizy rozmieszczenia liczb pierwszych był Eratostenes. Sito Eratostenesa jest pierwszym opisanym algorytmem wyróżniającym ze zbioru liczb naturalnych jedynie liczby pierwsze.

Sito Legendre’a

Adrien-Marie Legendre zmodyfikował pierwotny pomysł Eratostenesa wykorzystując zasadę włączeń-wyłączeń. Jeżeli przez ${\displaystyle A_{d}}$ oznaczymy podzbiór zbioru ${\displaystyle A}$ o wszystkich elementach podzielnych przez ${\displaystyle d,}$ to

${\displaystyle S(A,{\mathcal {P}},z)=|A|-\sum _{p_{1}\leqslant z}|A_{p_{1}}|+\sum _{p_{1}<p_{2}\leqslant z}|A_{p_{1}p_{2}}|-\ldots +\mu (P(z))|A_{P(z)}|.}$

Jeśli ${\displaystyle \mu }$ oznacza funkcję Möbiusa, to powyższą równość możemy uprościć do postaci

${\displaystyle S(A,{\mathcal {P}},z)=\sum _{d|P(z)}\mu (d)|A_{d}|}$

znanej jako tożsamość Legendre’a^[3].

Sito Legendre’a jest w stanie zapewnić nietrywialne oszacowania zarówno z góry (jeśli w pierwszej sumie uwzględnimy nieparzyście wiele składników, a resztę pominiemy), jak i z dołu (jeśli uwzględnimy parzyście wiele składników).

Sito Bruna

Choć wyniki Legendre’a prowadziły do nietrywialnych szacowań, to jednak w dalszym ciągu napotykały w pewnych zagadnieniach na problemy paraliżujące dalszą pracę. Viggo Brun w swojej pracy postanowił porzucić cel znajdowania zależności asymptotycznych na rzecz otrzymania nietrywialnych ograniczeń z góry i z dołu^[3]. Sformalizowanie jego pomysłów zaowocowało przede wszystkim w dowodzie zbieżności szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych oraz twierdzenia o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych ${\displaystyle p,}$ dla których ${\displaystyle p+2}$ składa się z co najwyżej 7 dzielników pierwszych^[9].

Rozwój sit kombinatorycznych

Sita takie jak Bruna nazywamy kombinatorycznymi. Charakteryzują się one większą efektywnością oszacowań przy niewielkiej liczbie odsiewanych elementów w stosunku do wielkości zbioru ${\displaystyle A.}$ Najbardziej nowatorską częścią teorii sit kombinatorycznych było wprowadzenie zbiorów wag ${\displaystyle \Lambda ^{-}}$ i ${\displaystyle \Lambda ^{+}}$ oraz, z ich wykorzystaniem, wprowadzenie odpowiednich funkcji ${\displaystyle S^{-}}$ i ${\displaystyle S^{+}}$ takich, że

${\displaystyle S^{-}(A,{\mathcal {P}},z)\leqslant S(A,{\mathcal {P}},z)\leqslant S^{+}(A,{\mathcal {P}},z).}$

Znaczący wpływ na rozwój sit kombinatorycznych miał Atle Selberg. Dla sita nazwanego przez Selberga sitem ${\displaystyle \Lambda ^{2}}$ (dziś nazywanym jego nazwiskiem) punkt wyjścia rozważań stanowiła tożsamość

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,\quad n=1\\0,\quad n>1,\end{cases}}}$

która pozwalała przepisać funkcję ${\displaystyle S}$ do postaci

${\displaystyle S(A,{\mathcal {P}},z)=\sum _{a\in A}\sum _{d|(a,P(z))}\mu (d).}$

Selberg definiuje wagi ${\displaystyle (\lambda _{d})}$ tak, aby ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ oraz ${\displaystyle \lambda _{d}=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle d\geqslant z.}$ W ten sposób gwarantuje prawdziwość nierówności

${\displaystyle \sum _{d|(a,P(z))}\mu (d)\leqslant \left(\sum _{d|(a,P(z))}\lambda _{d}\right)^{2},}$

dzięki której może wyprowadzić treść swojego twierdzenia.

Duże sito Linnika

Dalszy rozwój teorii sit pozwolił zrezygnować z restrykcji co do wielkości zbioru odsiewanego. Jurij Linnik, motywowany problemem wyznaczenia najmniejszych niereszt kwadratowych, sformułował pierwsze twierdzenie podejścia znanego później jako metody dużego sita^[10]. Zakładając, że z danego zbioru ${\displaystyle N}$ liczb naturalnych usuwamy wszystkie liczby należące do dokładnie ${\displaystyle f(p)}$ różnych klas reszt mod ${\displaystyle p}$ dla pewnego zbioru liczb pierwszych ${\displaystyle p,}$ nierówność uzyskana przez Linnika była efektywna, gdy stosunek ${\displaystyle f(p)}$ do ${\displaystyle p}$ był nie większy niż 1/2.

Większe sito Gallaghera

W artykule z 1971 r.^[11] Patrick X. Gallagher scharakteryzował większe sito (ang. larger sieve) jako prostą metodą pozwalającą otrzymać nietrywialne szacowania bez konieczności, aby liczba usuwanych klas reszt była nie większa niż 1/2. Nierówność większego sita pozwala, aby wartości ${\displaystyle g(q)=q-f(q)}$ były znacznie mniejsze niż u Linnika. Dodatkowo, wartości ${\displaystyle q}$ nie musiały się ograniczać do liczb pierwszych, mogły być ich pewnymi potęgami.

Jeśli zbiór wszystkich ${\displaystyle q}$ jak wyżej oznaczymy przez ${\displaystyle Q,}$ a długość przedziału – ${\displaystyle N,}$ jedynym warunkiem wymaganym przez sito Gallaghera jest nierówność

${\displaystyle \sum _{q\in Q}{\frac {\Lambda (q)}{g(q)}}-\log N\geqslant 0,}$

gdzie ${\displaystyle \Lambda }$ oznacza tu funkcję von Mangoldta. Jeśli jest ona prawdziwa, to liczba liczb nieodsianych jest nie większa niż

${\displaystyle {\frac {\sum _{q\in Q}\Lambda (q)-\log N}{\sum _{q\in Q}{\frac {\Lambda (q)}{g(q)}}-\log N}}.}$

Sito Goldstona-Pintza-Yıldırıma

Dan Goldston, János Pintz oraz Cem Yıldırım rozwinęli teorię sita Selberga tak, aby móc efektywnie szacować liczbę liczb pierwszych w ${\displaystyle k}$-krotkach. Definiujemy

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},h_{2},\dots ,h_{k}\}}$

jako odpowiednią krotkę i przyjmujemy

${\displaystyle P(n;{\mathcal {H}})=\prod _{h\in {\mathcal {H}}}(n+h).}$

Sito Goldstona-Pintza-Yıldırıma opiera swoją teorią na celu oszacowania sumy

${\displaystyle \sum _{N<n\leqslant 2N}\left(\sum _{h\in {\mathcal {H}}}\Lambda _{0}(n+h)-\log(3N)\right)\left(\sum _{d|P(n;{\mathcal {H}})}\lambda _{d}\right)^{2}}$

gdzie ${\displaystyle \Lambda _{0}}$ jest jak w oznaczeniach. Znak sumy jest istotny, ponieważ dla ustalonego ${\displaystyle n}$ wyrażenie pod sumą jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją różne ${\displaystyle h_{i},h_{j}\in {\mathcal {H}}}$ takie, że ${\displaystyle n+h_{i}}$ i ${\displaystyle n+h_{j}}$ to równocześnie liczby pierwsze^[8]. Nowatorskie podejście matematyków wkrótce utrwaliło się w literaturze jako metoda GPY.

Najczęściej wykorzystywane sita

Sito Selberga

Konstrukcja sita Selberga opiera się na założeniu, że znamy liczebność zbiorów ${\displaystyle A_{d}}$ w stosunku do liczebności ${\displaystyle A.}$ Jeśli ${\displaystyle f}$ jest funkcją całkowicie multiplikatywną taką, że

${\displaystyle |A_{d}|={\frac {|A|}{f(d)}}+r(d),}$

a funkcja ${\displaystyle g}$ spełnia zależność

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}g(d),}$

to^[9]

${\displaystyle S(A,{\mathcal {P}},z)\leqslant {\frac {|A|}{V(z)}}+O\left(\sum _{d_{1},d_{2}|P(z)}r([d_{1},d_{2}])\right),}$

gdzie funkcja ${\displaystyle V}$ dana jest przez

${\displaystyle V(z)=\sum _{\begin{array}{c}d\leqslant z\\d|P(z)\end{array}}{\frac {1}{g(d)}}.}$

Współcześnie zwykle sito Selberga wymaga gruntownych modyfikacji wag ${\displaystyle (\lambda _{d}).}$ Do najczęściej spotykanych należą tzw. sita wielowymiarowe (ang. multidimensional sieve)^[8].

Duże sito

Współcześnie przez duże sito (ang. large sieve) rozumiemy różnego rodzaju twierdzenia rozwijane po pracach Linnika. Za jeden z klasycznych wyników uznaje się twierdzenie Bombieriego, Davenporta i Montgomery’ego^[9][11].

Niech ${\displaystyle A}$ będzie zbiorem liczb naturalnych ${\displaystyle \leqslant x.}$ Dodatkowo, oznaczmy przez ${\displaystyle S_{0}(A,{\mathcal {P}},z)}$ liczebność zbioru

${\displaystyle \{n\in A\colon n\not \equiv w_{i,p}{\pmod {p}},\quad 1\leqslant i\leqslant f(p),\quad p|P(z)\}}$

(tzn. dla każdego ${\displaystyle p}$ będącego dzielnikiem ${\displaystyle P(z)}$ usuwamy dokładnie ${\displaystyle f(p)}$ różnych klast reszt mod ${\displaystyle p}$). Wówczas zachodzi nierówność

${\displaystyle S_{0}(A,{\mathcal {P}},z)\leqslant {\frac {z^{2}+4\pi x}{L(z)}},}$

gdzie:

${\displaystyle L(z)=\sum _{d\leqslant z}\mu (d)^{2}\prod _{p|d}{\frac {f(p)}{p-f(p)}}.}$

Znaczące wyniki

Twierdzenie Bruna

Wynik Viggo Bruna z 1919 r. należał do pierwszych znaczących rezultatów teorii sit oraz miał ogromny wpływ na jej intensywny dalszy rozwój. Brun wykazał, że szereg odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych jest zbieżny^[12].

Niech ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ oznacza liczbę liczb pierwszych ${\displaystyle p\leqslant x}$ takich, że ${\displaystyle p+2}$ jest również liczbą pierwszą. Brun wykazał, że

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right),}$

a dzięki temu ograniczeniu udowodnił, że istnieje stała ${\displaystyle B_{2}<\infty }$ taka, że

${\displaystyle \sum _{p+2\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}\right)=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\ldots =B_{2}.}$

Stała ${\displaystyle B_{2}=1,90216058\ldots }$ (A065421 w OEIS) jest nazywana stałą Bruna.

Nierówność Bruna-Titchmarsha

Nierówność uzyskana przez Viggo Bruna i Edwarda Charles’a Titchmarsha pozwoliła odgórnie ograniczyć ilość liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Nierówność ta mówi, że

${\displaystyle \pi (x+y;q,a)-\pi (y;q,a)\leqslant {\frac {2x}{\varphi (q)\log \left({\frac {x}{q}}\right)}}}$

dla wszystkich ${\displaystyle x>q}$^[13]. Pierwotny wynik wymagał dodatkowego uwzględnienia czynnika ${\displaystyle 1+o(1),}$ ale w późniejszych pracach Hugh Montgomery i Robert Vaughn byli w stanie go wyeliminować korzystając z technik dużego sita^[14]. Chowla, Motohashi i Siebert zaznaczają, że wszelkie postępy w zmniejszaniu wartości stałej 2 implikowałyby nieistnienie zer Siegela (potencjalnych kontrprzykładów dla uogólnionej hipotezy Riemanna)^[15].

Twierdzenie Chena

Twierdzenie Chena, udowodnione w 1973 r., stanowi ogromny postęp metod sit w kierunku hipotezy Goldbacha. Twierdzenie mówi, że każda dostatecznie duża liczba parzysta może być zapisana w postaci sumy dwóch liczb pierwszych lub liczby pierwszej oraz liczby półpierwszej^[16].

Chen Jingrun poprawił wcześniejszy wynik Alfreda Rényi, który udowodnił, że istnieje stała ${\displaystyle K<\infty }$ taka, że każda dostatecznie duża liczba parzysta może być zapisana w postaci sumy liczby pierwszej oraz liczby będącej iloczynem co najwyżej ${\displaystyle K}$ liczb pierwszych.

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa

Rozwój metod sit doprowadził do wielu znaczących udoskonaleń wyników pierwotnie znanych jako twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych. Klasycznym wynikiem teorii sit w tym zakresie jest twierdzenie Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa, którzy opublikowali prace o powiązanej z problemem hipotezie gęstości w 1965 r.

Twierdzenie mówi, że jeśli ${\displaystyle A>0}$ oraz ${\displaystyle Q>0}$ są dowolnymi stałymi, a ${\displaystyle x}$ spełnia nierówności

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x}}{(\log x)^{A}}}\leqslant Q\leqslant {\sqrt {x}},}$

to prawdziwa jest zależność^[17]

${\displaystyle \sum _{q\leqslant Q}\max _{(a,q)=1}\max _{y\leqslant x}\left|\pi (y;q,a)-{\frac {\pi (y)}{\varphi (q)}}\right|=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right).}$

Ten rezultat był wzmocnieniem oryginalnych wyników Marka Barbana z 1961 r.^[18]

Rezultat Goldstona-Pintza-Yıldırıma

W 2005 r. Goldston, Pintz i Yıldırım wykazali, że^[19]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0,}$

gdzie ${\displaystyle p_{n}}$ oznacza n-tą liczbę pierwszą. Dodatkowo, wykazali, że jeśli hipoteza Elliotta-Halberstama jest prawdziwa, to

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({p_{n+1}-p_{n}}\right)\leqslant 16.}$

Ograniczone różnice między liczbami pierwszymi

Zhang Yitang w 2013 r.^[1] znacząco udoskonalił wynik Goldstona, Pintza i Yıldırıma, ponieważ udowodnił, że istnieje stała ${\displaystyle K}$ taka, że

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})\leqslant K.}$

Choć wynik Zhanga dla stałej ${\displaystyle K=7\cdot 10^{7}}$ można było łatwo poprawić i uzyskać mniejsze wartości, był to pierwszy taki wynik w historii oraz ogromny krok w stronę udowodnienia hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych.

Znaczące postępy w zmniejszaniu wartości ${\displaystyle K}$ należą do Jamesa Maynarda, który w 2013 r. udowodnił, że nierówność zachodzi dla ${\displaystyle K=600}$^[2]. Najlepszymi znanymi jak dotąd wynikami są ${\displaystyle K=246}$ (udowodnione bezwarunkowo) oraz ${\displaystyle K=6}$ (przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama)^[20].

Ogólniej, dla liczby całkowitej ${\displaystyle m\geqslant 1}$ oznaczmy

${\displaystyle H_{m}=\liminf _{n\to \infty }(p_{n+m}-p_{n})}$

(tzn. ${\displaystyle H_{m}}$ jest minimalną wartością różnicy ${\displaystyle n+m}$-tej liczby pierwszej i ${\displaystyle n}$-tej liczby pierwszej, osiąganą nieskończenie wiele razy). Znane są następujące wyniki^[20].

${\displaystyle m}$	${\displaystyle \geqslant H_{m}}$ (wykazane bezwarunkowo)	${\displaystyle \geqslant H_{m}}$ (zakładając hipotezę EH)	${\displaystyle \geqslant H_{m}}$ (zakładając uogólnioną hipotezę EH)
1	246	–	6
2	398 130	270	252
3	24 797 814	52 116	–
4	1 431 556 072	474 266	–
5	80 550 202 480	4 137 854	–
${\displaystyle m\geqslant 1}$	${\displaystyle Cm\exp \left(\left(4-{\frac {28}{157}}\right)m\right)}$	${\displaystyle Cme^{2m}}$	–

Przy tym stała ${\displaystyle C}$ jest efektywna^[20].

Twierdzenie Friedlandera-Iwańca

John Friedlander oraz Henryk Iwaniec udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ dla ${\displaystyle a,b}$ całkowitych^[21]. Jest to wynik silniejszy od elementarnego twierdzenia Fermata mówiącego, że liczba pierwsza ${\displaystyle p}$ jest postaci ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}$ Dokładnie mówiąc, Friedlander i Iwaniec byli w stanie skorzystać z argumentu ilościowego by wykazać, że

${\displaystyle \sum _{a^{2}+b^{4}\leqslant x}\Lambda (a^{2}+b^{4})={\frac {4\kappa }{\pi }}x^{\frac {3}{4}}\left(1+O\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right),}$

gdzie ${\displaystyle \Lambda }$ oznacza funkcję von Mangoldta, a ${\displaystyle \kappa }$ jest pewną stałą.

W 2017 r. D.R. Heath-Brown i Xiannan Li wykazali, że tezę twierdzenia można wzmocnić ograniczając wartości ${\displaystyle b}$ jedynie do liczb pierwszych^[22].

Otwarte problemy

Hipoteza Elliotta-Halberstama

 Osobny artykuł: Hipoteza Elliotta-Halberstama.

Hipoteza zaproponowana Petera D.T.A. Elliotta i Heiniego Halberstama w 1968 r.^[23] dotyczy błędu występującego przy szacowaniu ilości liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

Niech

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

będzie błędem szacowania. Wówczas dla każdej liczby ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ istnieje stała ${\displaystyle A>0}$ taka, że

${\displaystyle \sum _{1\leqslant q\leqslant x^{\theta }}E(x;q)=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right)}$

dla każdego ${\displaystyle x>2.}$

Treść hipotezy dla ustalonej ${\displaystyle \theta }$ bywa często skracana do ${\displaystyle EH(\theta )}$^[20]. Treść hipotezy dla wszystkich ${\displaystyle \theta \in \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ została udowodniona w postaci twierdzenia Bombieriego-Winogradowa. Ponadto wiadomo, że dla ${\displaystyle \theta =1}$ jest nieprawdziwa^[24].

Hipoteza Elliotta-Halberstama ma w teorii sit ogromne znaczenie. Goldston, Pintz i Yıldırım pokazali, że przy założeniu jej prawdziwości można udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych oddalonych od siebie o nie więcej niż 16^[19].

Hipoteza Hardy’ego-Littlewooda o dopuszczalności

Hardy i Littlewood sformułowali hipotezę znacznie silniejszą od hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych, dotyczącą zachowania się liczb pierwszych w ${\displaystyle k}$-krotkach spełniających warunek dopuszczalności.

Niech ${\displaystyle \nu _{p}(A)}$ liczbę klas reszt mod ${\displaystyle p}$ zawierających elementy zbioru ${\displaystyle A}$ (np. ${\displaystyle \nu _{3}(\{1,2,4\})=2}$ lub ${\displaystyle \nu _{5}(\{2,7,12\})=1}$). Wówczas powiemy, że ${\displaystyle A}$ jest zbiorem dopuszczalnym jeżeli ${\displaystyle \nu _{p}(A)<p}$ dla wszystkich liczb pierwszych ${\displaystyle p.}$ Hipoteza mówi, że jeśli ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest ${\displaystyle k}$-krotką dopuszczalną, to

${\displaystyle \sum _{n\leqslant N}\prod _{h\in {\mathcal {H}}}\Lambda _{0}(n+h)=N({\mathfrak {G}}({\mathcal {H}})+o(1)),}$

gdzie:

${\displaystyle {\mathfrak {G}}({\mathcal {H}})=\prod _{p}\left(1-{\frac {\nu _{p}({\mathcal {H}})}{p}}\right)\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-k}}$

(gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ rozumiemy jako zbieżny iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych). Sformułowanie hipotezy ma swoje źródło w heurystyce Hardy’ego i Littlewooda opartej na metodzie łuków^[8][25].

Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych

 Osobny artykuł: Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.

Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych mówi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych ${\displaystyle p}$ takich, że ${\displaystyle p+2}$ jest również liczbą pierwszą. Tezę możemy zapisać równoważnie w postaci

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})=2,}$

gdzie ${\displaystyle p_{n}}$ oznacza n-tą liczbę pierwszą.

Projekt Polymath w 2014 r. wykazał^[20], że przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama możemy uzyskać

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})\leqslant 6.}$

Dla porównania, najlepszym znanym bezwarunkowym wynikiem^[20] jest

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})\leqslant 246.}$

Jak dotąd hipoteza wciąż pozostaje nieudowodniona (stan na 12-08-2023).

Hipoteza Goldbacha

 Osobny artykuł: Hipoteza Goldbacha.

Hipoteza Goldbacha postuluje, że każda liczba parzysta większa lub równa 6 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

Co ciekawe, udowodniono^[20], że przy założeniu uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama, przynajmniej jedno z poniższych jest prawda:

• hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych,
• zdanie bliskie hipotezie Goldbacha – jeśli ${\displaystyle n}$ jest dostatecznie dużą wielokrotnością liczby 6, to przynajmniej jedną z liczb ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle n-2}$ można wyrazić jako sumę dwóch liczb pierwszych (${\displaystyle n-2}$ można również zastąpić przez ${\displaystyle n+2}$).

Hipoteza Buniakowskiego

Problem Buniakowskiego to pytanie o to, czy wielomiany nierozkładalne, o współczynnikach całkowitych spełniające dodatkowe założenia przyjmują wartości będące liczbami pierwszymi dla nieskończenie wielu argumentów całkowitych. Hipoteza Buniakowskiego jest naturalnym uogólnieniem czwartego problemu Landaua (który pyta o szczególny przypadek wielomianu ${\displaystyle n^{2}+1}$).

Jedynym znanym wynikiem, który w pełni odpowiada twierdząco hipotezie, jest twierdzenie Dirichleta, mówiące, że wielomiany stopnia 1 (ciągi arytmetyczne) przyjmują nieskończenie wiele wartości pierwszych.

Przypisy