Radialna funkcja bazowa

Radialna funkcja bazowa (ang. radial basis function – RBF) – funkcja rzeczywista, której wartość zależy zwykle wyłącznie od odległości od określonego punktu. Funkcje te są używane w funkcjach aproksymacji, dla ciągów prognoz czasowych i sterowania. W sztucznych sieciach neuronowych radialne funkcje bazowe są wykorzystywane jako funkcje aktywacji.

Każda funkcja ${\displaystyle \rho }$ która spełnia własność ${\displaystyle \rho (x)=\rho (\|x\|)}$ jest funkcją radialną. Za normę uznaje się zwykle metrykę euklidesową. Odległość może być mierzona od dowolnego punktu ${\displaystyle x_{k}{:}}$ ${\displaystyle \rho (x,x_{k})=\rho (\|x-x_{k}\|).}$ Punkt ${\displaystyle x_{k},}$ który zwykle jest znanym punktem aproksymacyjnym, nazywamy centrum.

Metody aproksymacyjne

Wagowa kombinacja radialnych funkcji bazowych

${\displaystyle y(\mathbf {x} )=\sum _{k=1}^{K}w_{k}\rho (\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|)}$

może być użyta do aproksymacji dowolnych funkcji ciągłych z bezwzględną dokładnością dla punktów gęsto położonych. Taka suma może być rozumiana jako typ sztucznych sieci neuronowych, zwanych sieciami radialnych funkcji bazowych. Aproksymacja jest zmienna, co pozwala na „uczenie” współczynników wagowych ${\displaystyle w_{k}}$ stanowiących rozwiązanie układu ${\displaystyle K}$ (liczba wszystkich punktów aproksymacyjnych) równań spełniających warunek:

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=1}^{K}w_{l}\rho _{lk},}$

gdzie ${\displaystyle y(\mathbf {x} _{k})=y_{k}}$ oznacza znane wartości aproksymacyjne w znanych punktach aproksymacyjnych ${\displaystyle x_{k},}$ ${\displaystyle \rho _{lk}=\rho (\|\mathbf {x} _{l}-\mathbf {x} _{k}\|),}$ a ${\displaystyle l=1,2,\dots ,K.}$

Macierz powyższego układu ma postać:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\\dots \\y_{K}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{11}&\dots &\dots \\\dots &\dots &\dots \\\dots &\dots &\rho _{KK}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{1}\\\dots \\w_{K}\end{bmatrix}}}$

i jest symetryczna (co wynika z własności funkcji bazowych i drugiego aksjomatu metryki), a poprzez odpowiedni dobór funkcji bazowych, również dodatnio określona^[1]. Metoda funkcji radialnych jest nowoczesną metodą aproksymacyjną. Jej wadą jest jednak konieczność wyznaczenia wektora ${\displaystyle K}$ współczynników aproksymacyjnych ${\displaystyle w_{k},}$ co dla dużych zbiorów danych może być bardzo czasochłonne.

Przykłady radialnych funkcji bazowych

Zwykle stosuje się następujące typy radialnych funkcji bazowych:

1. liniową: ${\displaystyle \rho (r)=r,}$
2. sześcienną: ${\displaystyle \rho (r)=r^{3},}$
3. cienkiej płytki: (ang. thin-plate spline)^[2]: ${\displaystyle \rho (r)=r^{2}\log(r),}$
4. gaussowską: (ang. gaussian): ${\displaystyle \rho (r)=\exp(-\beta r^{2}),}$
5. wielokwadratową (ang. multiquadratic): ${\displaystyle \rho (r)={\sqrt {r^{2}+\beta ^{2}}},}$
6. odwrotną wielokwadratową (ang. inverse multiquadratic): ${\displaystyle \rho (r)=\left(r^{2}+\beta ^{2}\right)^{-1/2},}$
7. wielomianową (ang. polynomial): ${\displaystyle \rho (r)=r^{2}+\beta ^{2},}$
8. funkcję Wendlanda^[3]: ${\displaystyle \rho (r)={\begin{cases}\left(1-{\frac {r}{R}}\right)^{4}\left(4{\frac {r}{R}}+1\right)&{\frac {r}{R}}<1\\0&{\frac {r}{R}}\geqslant 1\end{cases}},}$
9. funkcję Wu^[4]: ${\displaystyle \rho (r)={\begin{cases}\left(1-{\frac {r}{R}}\right)^{4}\left(4+16{\frac {r}{R}}+12\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}+3\left({\frac {r}{R}}\right)^{3}\right)&{\frac {r}{R}}<1\\0&{\frac {r}{R}}\geqslant 1\end{cases}}.}$

Cechą wspólną funkcji bazowych 4–7 jest zastosowanie parametru rozmycia ${\displaystyle \beta >0,}$ pozwalającego na uniknięcie osobliwości lub złego uwarunkowania macierzy układu^[5] wynikających między innymi z zerowania się odległości ${\displaystyle (r)}$ dla nakładających się lub bliskich sobie punktów aproksymacyjnych ${\displaystyle x_{k}.}$ Właściwy dobór parametru ${\displaystyle \beta }$ może być jednak problematyczny i zwykle stosuje się tu jakieś dodatkowe kryterium, zależne od właściwości fizycznych analizowanego problemu. Jedną ze znanych propozycji jest kryterium związane z błędem pomiaru odległości^[6] punktów aproksymacyjnych. Inną możliwością jest zastosowanie metryki pomiarowej.

Inną możliwością jest określenie minimalnej dopuszczalnej odległości pomiędzy punktami aproksymacyjnymi (ang. data separation), bądź też zastosowanie funkcji bazowych o zwartym nośniku (ang. compact support) 8 lub 9 jakim jest obszar wokół punktu 0 i promieniu ${\displaystyle R,}$ jaki w tym przypadku stanowi parametr kontrolny.

Dodatkowo, dzięki zastosowaniu funkcji o zwartym nośniku typu macierz układu równań, z rozwiązania, którego określane są współczynniki ${\displaystyle w_{k}}$ jest nie tylko symetryczna i dodatnio określona, ale również rzadka, co pozwala na zastosowanie szybkich algorytmów iteracyjnych. Ponadto reprezentacja funkcji aproksymacyjnej ma wtedy charakter lokalny, przez co złożoność obliczeniowa samego procesu aproksymacji jest znacznie mniejsza^[5].

Przypisy