Równanie funkcyjne Cauchy’ego

Równanie funkcyjne Cauchy’ego to równanie funkcyjne zadane wzorem:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).}$

Funkcję spełniającą dane równanie nazywamy addytywną. Rozwiązaniami tego równania w zbiorze liczb wymiernych są tylko funkcje liniowe postaci ${\displaystyle f(x)=cf(x),}$ dla pewnej liczby wymiernej ${\displaystyle c.}$ W zbiorze liczb rzeczywistych dane równanie ma również rozwiązania nieliniowe, co wynika z aksjomatu wyboru. Jednak rozwiązanie jest liniowe, jeśli spełnia chociaż jeden z poniższych warunków:

• funkcja ${\displaystyle f}$ jest prawostronnie lub lewostronnie ciągła w przynajmniej jednym punkcie,
• funkcja ${\displaystyle f}$ jest ograniczona w pewnym przedziale,
• funkcja ${\displaystyle f}$ jest monotoniczna w pewnym przedziale.

Rozwiązania w liczbach wymiernych

Twierdzenie: Każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach wymiernych jest funkcją liniową.

Dowód: Wstawiając do równania ${\displaystyle x=y=0}$ otrzymujemy, że ${\displaystyle f(0)=f(0)+f(0),}$ skąd wynika ${\displaystyle f(0)=0.}$ Zatem ${\displaystyle f(-q)=-f(q),}$ bowiem ${\displaystyle 0=f(0)=f(q+(-q))=f(q)+f(-q).}$

Dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ q\in \mathbb {Q} }$ zachodzi ${\displaystyle f(nq)=f(q+(n-1)q)=f(q)+f((n-1)q)=f(q)+f(q+(n-2)q)=f(q)+f(q)+f((n-2)q)=\ldots =n\cdot f(q),}$

co w połączeniu z poprzednią obserwacją implikuje ${\displaystyle f(mq)=m\cdot f(q)}$ dla ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} .}$ Wstawiając ${\displaystyle {\frac {q}{n}}}$ w miejsce ${\displaystyle q}$ otrzymujemy równość ${\displaystyle f(q)=f\left(n\cdot {\frac {q}{n}}\right)=nf\left({\frac {q}{n}}\right),}$ z której wynika ${\displaystyle f\left({\frac {q}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(q).}$

W takim razie, oznaczając ${\displaystyle q={\frac {m}{n}}}$ dla ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} }$ oraz po podstawieniu ${\displaystyle f(1)=c,}$ otrzymujemy tezę, bowiem ${\displaystyle f(q)=f\left({\frac {m}{n}}\right)=f\left({\frac {1}{n}}\cdot m\right)={\frac {1}{n}}f(m)={\frac {m}{n}}f(1)=qc.\ \square }$^[1].

Warunki wystarczające na liniowość rozwiązania w liczbach rzeczywistych

Ciągłość

Twierdzenie: Jeśli funkcja ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest w przynajmniej jednym punkcie prawostronnie lub lewostronnie ciągła, to jest ona funkcją liniową.

Dowód: Niech ${\displaystyle x_{0}}$ będzie punktem prawostronnej ciągłości funkcji ${\displaystyle f,}$ które spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego (dla ciągłości lewostronnej dowód wygląda analogicznie). Dla dowolnego ${\displaystyle x_{1}\in \mathbb {R} }$ zachodzi

${\displaystyle f(x_{1}+x)=f(x_{0}+x+x_{1}-x_{0})=f(x_{0}+x)+f(x_{1}-x_{0}).}$

Gdy ${\displaystyle x\to 0^{+},}$ to istnieje granica prawej strony powyższego wyrażenia, zatem granica lewej strony również musi istnieć i jest ona równa

${\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x_{1}+x)=\lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x_{0}+x)+f(x_{1}-x_{0})=f(x_{0})+f(x_{1}-x_{0})=f(x_{0}+x_{1}-x_{0})=f(x_{1}).}$

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest zatem prawostronnie ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla dowolnego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ zachodzi

${\displaystyle f(x)=\lim _{q\to x^{+}}f(q)=\lim _{q\to x^{+}}cq=cx,}$

gdzie liczby ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ,}$ a z rozwiązania równania w liczbach wymiernych wynika, że ${\displaystyle f(q)=cq.}$ Funkcja ${\displaystyle f}$ jest więc ciągła. ${\displaystyle \square }$

Ograniczoność

Twierdzenie: Jeśli funkcja ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest w pewnym przedziale ograniczona, to jest funkcją liniową.

Dowód: Niech funkcja ${\displaystyle f}$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest ograniczona w przedziale ${\displaystyle [a,b],}$ gdzie ${\displaystyle a<b.}$ Funkcja ${\displaystyle f}$ jest w takim razie ograniczona również w przedziale ${\displaystyle [0,b-a],}$ bowiem ${\displaystyle f(x)=f(a+x)-f(a),}$ a prawa strona podanej równości jest ograniczona w tym przedziale. Dla argumentów z tego przedziału zachodzi zatem ograniczenie ${\displaystyle |f(x)|\leqslant K.}$ Dla ${\displaystyle x\in [0,b-a]}$ zachodzi zatem

${\displaystyle |f(x)|={\frac {\left|f\left(\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor \cdot x\right)\right|}{\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor }}\leqslant {\frac {K}{\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor }}.}$

Przy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle x \to 0^+} prawa strona nierówności zbiega do 0, zatem ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=0,}$ ale z drugiej strony ${\displaystyle f(0)=0,}$ więc funkcja ta ma w zerze punkt prawostronnej ciągłości. Na mocy poprzedniego twierdzenia musi ona być funkcją liniową. ${\displaystyle \square }$

Monotoniczność

Twierdzenie: Jeśli funkcja ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ spełnia równanie Cauchy’ego i jest na pewnym przedziale monotoniczna, to jest ona funkcją liniową.

Dowód: Dowód wynika wprost z tego, że każda funkcja monotoniczna posiada w przedziale monotoniczności punkt ciągłości. Alternatywnie dowód wynika stąd, że funkcja monotoniczna w przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ jest w nim ograniczona przez ${\displaystyle f(a)}$ i ${\displaystyle f(b).}$ ${\displaystyle \square }$^[1]

Istnienie nieliniowych rozwiązań w liczbach rzeczywistych

Twierdzenie: W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego. Ich istnienie wymaga jednak założenia aksjomatu wyboru.

Dowód: Rozpatrzmy przestrzeń wektorową ${\displaystyle \mathbb {R} (\mathbb {Q} ).}$ Z równoważnego aksjomatowi wyboru lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że przestrzeń ta ma pewną bazę ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{x_{i}\}_{i\in I}.}$ Każdą liczbę rzeczywistą ${\displaystyle x}$ można więc jednoznacznie przedstawić jako sumę ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}x_{i}\lambda _{i},}$ gdzie ${\displaystyle \lambda _{i}}$ są skalarami z ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ i tylko skończenie wiele spośród nich jest różnych od zera. Możemy przyjąć dowolne wartości dla funkcji ${\displaystyle f}$ na wektorach bazowych i określić wzór ${\displaystyle f}$ następująco:

${\displaystyle f(x)=f\left(\sum _{i\in I}x_{i}\lambda _{i}\right)=\sum _{i\in I}f(x_{i})\lambda _{i}.}$

Taka funkcja jest rzeczywiście dobrze określona, co wynika z jedyności rozkładu liczb rzeczywistych na wektory bazowe. Ponadto jest ona rozwiązaniem równania funkcyjnego Cauchy’ego, bowiem dla dowolnych rzeczywistych ${\displaystyle x=\sum _{i\in I}x_{i}p_{i},\ y=\sum _{i\in I}x_{i}q_{i}}$ zachodzi ${\displaystyle x+y=\sum _{i\in I}x_{i}(p_{i}+q_{i}),}$ a także

${\displaystyle f(x)+f(y)=\sum _{i\in I}f(x_{i})p_{i}+\sum _{i\in I}f(x_{i})q_{i}=\sum _{i\in I}f(x_{i})(p_{i}+q_{i})=f(x+y).}$

Tak określona funkcja ${\displaystyle f}$ jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie ${\displaystyle {\frac {f(x_{i})}{x_{i}}}}$ ma stałą wartość dla każdego ${\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}.}$ Aby otrzymać nieliniowe rozwiązanie wystarczy tak dobrać wartości na wektorach bazowych, żeby warunek ten nie był spełniony. ${\displaystyle \square }$^{[potrzebny przypis]}

Własności nieliniowych rozwiązań

Twierdzenie: Wykres każdego nieliniowego rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach rzeczywistych jest gęsty w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Dowód: Bez straty ogólności załóżmy, że ${\displaystyle f(1)=1}$ (jeśli ${\displaystyle f(1)\neq 1}$ i ${\displaystyle f(1)\neq 0,}$ to jest to tylko kwestia pomnożenia przez stałą). W takim razie ${\displaystyle f(q)=q}$ dla ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$ Ponieważ funkcja ta jest nieliniowa, to istnieje takie ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,}$ że ${\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha ,}$ czyli ${\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,}$ dla pewnego ${\displaystyle \delta \neq 0.}$ Weźmy dowolne koło o środku w punkcie ${\displaystyle (x,y)}$ i promieniu ${\displaystyle r,}$ gdzie ${\displaystyle x,y,r\in \mathbb {Q} }$ (jest to wystarczające, ponieważ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ jest gęste w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$). Niech ${\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}$ i ${\displaystyle b\neq 0}$ będzie taką liczbą wymierną, że ${\displaystyle |\beta -b|<{\frac {r}{3|\delta |}}.}$ Ponadto niech ${\displaystyle a}$ będzie taką liczbą wymierną, że ${\displaystyle |\alpha -a|<{\frac {r}{3|b|}}.}$ Weźmy ${\displaystyle X=x+b(\alpha -a).}$ Wtedy:

${\displaystyle Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))=x+bf(\alpha )-bf(a)=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ab=y+b(\alpha -a)+\delta (b-\beta )}$

${\displaystyle (Y-y)^{2}+(X-x^{2})={\big (}b(\alpha -a)+\delta (b-\beta ){\big )}^{2}+{\big (}b(\alpha -a){\big )}^{2}<\left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}={\frac {5}{9}}r^{2}<r^{2}.}$

Punkt ${\displaystyle (X,Y)}$ należy do wnętrza koła, co dowodzi gęstości wykresu funkcji.

Dla Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikipedia.org/v1/”:): {\displaystyle f(1)=0} dowód wygląda podobnie.

Oznaczamy ${\displaystyle f(\alpha )=\delta \neq 0,\ \beta ={\frac {y}{\delta }}}$ oraz dobieramy ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$ w ten sposób, aby spełniały ${\displaystyle |\beta -b|<{\frac {r}{3|\delta |}},\ |\alpha -a|<{\frac {r}{3|b|}}.}$

Podstawiając ${\displaystyle X=x+b(\alpha -a)}$ otrzymujemy ${\displaystyle Y=f(X)=b\delta .}$ Zatem

${\displaystyle (Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b\delta -\beta \delta )^{2}+(b(\alpha -a))^{2}<{\frac {r^{2}}{9}}+{\frac {r^{2}}{9}}<r^{2}.}$

W takim razie punkt ${\displaystyle (X,Y)}$ należy do wnętrza koła, co kończy dowód przypadku, gdy ${\displaystyle f(1)=0.\ \square }$^{[potrzebny przypis]}

Przypisy