Metoda Eulera

Ten artykuł dotyczy metody rozwiązywania równań różniczkowych. Zobacz też: Metoda siecznych - metoda numeryczna obliczania miejsca zerowego funkcji, zwana również metodą Eulera.

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”)^[1].

Metoda podstawowa

Równanie postaci ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ o warunkach początkowych ${\displaystyle (x_{0},y_{0}):y_{0}=y(x_{0}),}$ z kolejnymi punktami ${\displaystyle x_{i}}$ na osi x:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+h,\quad n=0,1,2,3,...}$

Ponieważ – z definicji pochodnej

${\displaystyle y'={\frac {\Delta y}{h}},}$

czyli zarazem

${\displaystyle f(x_{n},y_{n})=y'={\frac {\Delta y}{h}}.}$

Po przekształceniu:

${\displaystyle \Delta y=hf(x_{n},y_{n}).}$

Ponieważ szukamy wzoru na ${\displaystyle y_{n+1},}$ zatem do wzoru ${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+\Delta y}$ podstawiamy wyżej wyliczone ${\displaystyle \Delta y}$ i otrzymujemy ostatecznie równanie:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n},y_{n}).}$

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

${\displaystyle y_{n+1}=y(x_{n+1})=y(x_{n}+h)=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})+{\frac {f^{(2)}(\xi )}{2}}h^{2},}$

gdzie ${\displaystyle x_{n}<{\xi }<x_{n+1}}$

co oznacza, że przybliżenie wartości ${\displaystyle y(x_{n+1})}$ ma błąd rzędu ${\displaystyle h^{2}.}$ Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zbieżność

Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie ${\displaystyle y'=y}$ dla warunków początkowych ${\displaystyle x_{0}=0,y_{0}=1,}$ którego rozwiązaniem jest funkcja ${\displaystyle y=\exp(x).}$ Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h^[2].

h=1:	${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+1,}$	${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+1\cdot y_{n}=2y_{n}}$	dla ${\displaystyle x_{n}=4}$ mamy ${\displaystyle y_{n}=16}$
h=0.5:	${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+0{,}5,}$	${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+0{,}5\cdot y_{n}=1{,}5y_{n},}$	dla ${\displaystyle x_{n}=4}$ mamy ${\displaystyle y_{n}=25{,}6289}$
h=0.1:	${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+0{,}1,}$	${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+0{,}1\cdot y_{n}=1{,}1y_{n},}$	dla ${\displaystyle x_{n}=4}$ mamy ${\displaystyle y_{n}=45{,}2593}$
h=0.01:	${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+0{,}01,}$	${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+0{,}01\cdot y_{n}=1{,}01y_{n},}$	dla ${\displaystyle x_{n}=4}$ mamy ${\displaystyle y_{n}=53{,}5241}$
h=0.001:	${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+0{,}001,}$	${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+0{,}001\cdot y_{n}=1{,}001y_{n},}$	dla ${\displaystyle x_{n}=4}$ mamy ${\displaystyle y_{n}=54{,}5891}$

W rzeczywistości ${\displaystyle \exp(4)\approx 54{,}5982.}$

Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem ${\displaystyle x-x_{0}}$ dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.

Metoda zmodyfikowana

Zgodnie z tą metodą, ${\displaystyle \Delta y}$ obliczamy jako:

${\displaystyle \Delta y=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+f(x_{n},y_{n}){\frac {h}{2}}\right)h.}$

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalona

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej ${\displaystyle \Delta y}$ za pomocą średniej arytmetycznej:

${\displaystyle \Delta y=h{\frac {f(x_{n},y_{n})+f(x_{n}+h,y_{n}+f(x_{n},y_{n})h)}{2}}.}$

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.

Zobacz też

• metoda Eulera-Maruyamy
• metoda Rungego-Kutty
• metody numeryczne

Przypisy

Bibliografia

• Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982, s. 285–312.
• D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982, s. 19–43.
• J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980, s. 150–157.