Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Mówi ono, że szereg liczbowy o wyrazach nieujemnych majoryzowany przez zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny. Przez zasadę kontrapozycji, twierdzenie to jest równoważne temu, że szereg o wyrazach nieujemnych majoryzujący rozbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest rozbieżny.

Kryterium

Niech

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

(A)

oraz

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

(B)

będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie ${\displaystyle k,}$ że dla wszelkich ${\displaystyle n\geqslant k}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}.}$

Wówczas

1. jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to szereg (A) jest również zbieżny;
2. jeżeli szereg (A) jest rozbieżny, to szereg (B) jest również rozbieżny^[1].

Dowód

Suma (tj. granica ciągu sum częściowych) szeregu o wyrazach nieujemnych zawsze istnieje – jest albo nieujemną liczbą rzeczywistą bądź wynosi ${\displaystyle \infty .}$ Oznacza to, że stwierdzenia 1. i 2. są równoważne na mocy zasady kontrapozycji. Wystarczy zatem przeprowadzić dowód dla 1.

Załóżmy, że szereg (B) jest zbieżny oraz niech ${\displaystyle B}$ będzie (skończoną) sumą (B). Skoro istnieje takie ${\displaystyle k,}$ że dla wszelkich ${\displaystyle n\geqslant k}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n},}$

można założyć, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle n}$ ponieważ skończenie wiele wyrazów szeregu liczbowego nie wpływa na jego zbieżność^[2]. W tym przypadku, dla każdej liczby naturalnej spełniona jest także nierówność

${\displaystyle 0\leqslant \sum _{n=1}^{k}a_{j}\leqslant \sum _{n=1}^{k}b_{j}\leqslant B.}$

Oznacza to, że ciąg

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

jest ograniczony (przez ${\displaystyle B}$). Ciąg ten jest także niemalejący, istotnie

${\displaystyle S_{k+1}-S_{k}=\sum _{n=1}^{k+1}a_{n}-\sum _{n=1}^{k}a_{n}=a_{k+1}\geqslant 0,}$

tj. dla wszystkich ${\displaystyle k}$ zachodzi

${\displaystyle S_{k+1}\geqslant S_{k}.}$

Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny, a więc szereg (A) jest zbieżny, gdyż zbieżny jest jego ciąg sum częściowych^[3].

Wersja graniczna

Pod założeniem, ${\displaystyle a_{n}\geqslant 0,\;b_{n}>0\quad (n\in \mathbb {N} ),}$ jeżeli istnieje granica

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},\qquad {}}$ gdzie ${\displaystyle {}\qquad 0\leqslant K\leqslant \infty ,}$

to

• gdy ${\displaystyle K<\infty ,}$ to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
• gdy ${\displaystyle K>0,}$ to z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A)^[4].

W równoważnym sformułowaniu:

• gdy ${\displaystyle 0<K<\infty ,}$ oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne;
• gdy ${\displaystyle K=0,}$ to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
• gdy ${\displaystyle K=\infty ,}$ to z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A)^[5].

Wersja ułamkowa

Pod założeniem, ${\displaystyle a_{n}>0,\;b_{n}>0\quad (n\in \mathbb {N} ),}$ jeżeli dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}},}$

ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) (a więc z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B))^[6].

Przykład zastosowania

Niech ${\displaystyle b_{n}=1/2^{n},}$ tj. w tym przypadku szereg (B) jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Niech

${\displaystyle a_{n}={\frac {(n!)^{2}}{(2n)!}}.}$

Szereg (A) jest zbieżny, gdyż

${\displaystyle {\frac {(n!)^{2}}{(2n)!}}={\frac {n!}{2^{n}(2n-1)!!}}<{\frac {1}{2^{n}}}=b_{n},}$

tj. szereg (A) jest majoryzowany przez zbieżny szereg geometryczny (B)^[7].

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Praca zbiorowa: Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990. ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:

• Kryterium porównawcze zbieżności szeregów, 26 stycznia 2016.
• Kryterium porównawcze zbieżności szeregów – przykład, 16 kwietnia 2016.
• Kryterium porównawcze zbieżności szeregów w wersji granicznej, 5 lipca 2016.
• Kryterium porównawcze w wersji granicznej – przykład, 7 kwietnia 2017.