Grupa Heisenberga

Grupa Heisenberga – grupa macierzy trójkątnych górnych ${\displaystyle 3\times 3}$ postaci ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ z działaniem mnożenia macierzy, elementy ${\displaystyle x,y,z}$ należą do dowolnego pierścienia przemiennego z jednością. Zazwyczaj przyjmowany jest pierścień liczb rzeczywistych lub liczb naturalnych. Nazwa pochodzi od imienia fizyka teoretycznego Wernera Heisenberga.

Wynik mnożenia dwóch macierzy ma postać: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x'&y'\\0&1&z'\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x+x'&y+y'+xz'\\0&1&z+z'\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Elementem neutralnym grupy Heisenberga jest macierz jednostkowa, a elementem odwrotnym jest ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-x&xz-y\\0&1&-z\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Grupa ta jest izomorficzna ze zbiorem trójek ${\displaystyle (x,y,z),}$ w którym definiuje się działanie ${\displaystyle \odot {:}}$

${\displaystyle (x,y,z)\odot (x',y',z')=(x+x',y+y'+xz',z+z'),}$

elementem neutralnym jest:

${\displaystyle (0,0,0)}$

oraz

${\displaystyle (x,y,z)^{-1}=(-x,-y+xz,-z).}$

Dyskretna grupa Heisenberga

Jeśli elementy macierzy ${\displaystyle x,y,z}$ są liczbami całkowitymi, to grupę Heisenberga określa się jako dyskretną grupę Heisenberga i oznacza się ${\displaystyle H_{3}(Z).}$

Jest to nieabelowa grupa nilpotentna, która ma dwa generatory, ${\displaystyle a={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Zachodzące w niej następujące zależności

${\displaystyle c=aba^{-1}b^{-1},\ ac=ca,\ bc=cb,}$

gdzie ${\displaystyle c={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$ jest generatorem Centrum grupy ${\displaystyle H_{3}.}$

Bibliografia

• http://www.math.columbia.edu/~woit/notes20.pdf