Aproksymacja średniokwadratowa

Aproksymacja średniokwadratowa – aproksymacja, której celem jest minimalizacja błędu na przedziale [ a , b ] . {\displaystyle [a,b].} Istotność błędu w poszczególnych punktach mierzy się za pomocą funkcji wagowej w ( x ) . {\displaystyle w(x).} Jeśli funkcję f ( x ) {\displaystyle f(x)} próbuje się przybliżać za pomocą φ ( x ) , {\displaystyle \varphi (x),} to minimalizuje się błąd:

E = ∫ a b w ( x ) [ φ ( x ) − f ( x ) ] 2 d x . {\displaystyle E=\int \limits _{a}^{b}w(x)[\varphi (x)-f(x)]^{2}\;dx.}
(a)

Ze względów praktycznych stosuje się inną definicję błędu, umożliwiającą prostszą jego minimalizację

R = ∑ i = 0 n [ φ ( x i ) − f ( x i ) ] 2 {\displaystyle R=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}}
(b)

zwłaszcza wtedy, gdy przyjmie się dodatkowo

φ ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a m x m = ∑ i = 0 m a i x i , m < n . {\displaystyle \varphi (x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\,...\,+a_{m}x^{m}=\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i},\quad m<n.}
(c)

Warunek stacjonarności funkcji R ( a 0 , a 1 , . . . a m ) {\displaystyle R(a_{0},\,a_{1},\,...\,a_{m})} przybiera postać

∂ R ∂ a k = ∂ ∂ a k { ∑ i = 0 n [ φ ( x i ) − f ( x i ) ] 2 } = 2 ∑ i = 0 n [ φ ( x i ) − f ( x i ) ] ∂ ∂ a k φ ( x i ) = ∑ i = 0 n [ φ ( x i ) − f ( x i ) ] x i k = ∑ i = 0 n { [ x i k x i k + 1 . . . x i k + m ] a − f i x i k } = 0 , k = 0 , 1 , . . . m , {\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {\partial R}{\partial a_{k}}}&={\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\left\{\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]^{2}\right\}\\&=2\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]{\tfrac {\partial }{\partial a_{k}}}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}[\varphi (x_{i})-f(x_{i})]x_{i}^{k}\\&=\sum _{i=0}^{n}\left\{[x_{i}^{k}\;\;x_{i}^{k+1}\;\;...\;\;x_{i}^{k+m}]\mathbf {a} -f_{i}x_{i}^{k}\right\}\\&=0,\qquad k=0,\,1,\,...\,m,\end{aligned}}}
(d)


gdzie a = ( a 0 , a 1 , . . . a m ) T . {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{0},\,a_{1},\,...\,a_{m})^{T}.}

Zobacz też

  • aproksymacja trygonometryczna
  • aproksymacja wielomianowa
  • aproksymacja za pomocą funkcji sklejanych
  • aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych
  • szybka transformacja Fouriera
  • aproksymacja jednostajna
  • funkcja sklejana
  • funkcje ortogonalne
  • funkcje ortonormalne
  • ortogonalizacja Grama-Schmidta
  • wielomiany ortogonalne