Cauchy-følge

En Cauchy-følge eller en fundamentalfølge er en følge av elementer i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg. Velger en et vilkårlig positivt tall kan en alltid finne to elementer i følgen slik av avstanden mellom disse elementene er mindre enn det valgte tallet.

Navnet har følgene fått etter matematikeren Augustin Louis Cauchy, og begrepet «Cauchy-følge» (Cauchy sequence) ble første gang kjent brukt i 1906.^[1]

Cauchy-følger spiller en svært viktig rolle i studiet av konvergens for følger, blant annet fordi de gjør det mulig å studere konvergens uten å ha kjennskap til grenseverdien som følgene konvergerer mot. I et komplett metrisk rom vil en Cauchy-følge alltid være konvergent, og omvendt. Dette gjelder for eksempel for Cauchy-følger av reelle tall, såkalte tallfølger.

Formell definisjon

La S være et metrisk rom utstyrt med metrikken d. En følge ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ av elementer i S er en Cauchy-følge dersom det for enhver ${\displaystyle \epsilon >0}$ eksisterer et naturlig tall N slik at

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\epsilon \ \ \forall \,n,m\geq N}$.

For et metrisk rom som består av reelle tal bruker en vanligvis metrikken

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})=|x_{n}-x_{m}|\,}$

Egenskaper

• I et vilkårlig metrisk rom vil en konvergent følge alltid være en Cauchy-følge. Det motsatte er ikke generelt tilfelle: en følge kan være en Cauchy-følge uten å være konvergent.
• I et kompakt metrisk rom vil en Cauchy-følge alltid være konvergent og ha en grenseverdi i rommet.

Komplette metriske rom

Et metrisk rom S sies å være komplett dersom en hver Cauchy-følge konvergerer mot et element som også ligger i S.

Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom. Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk. I Q er det mulig å konstruere Cauchy-følger som konvergerer mot en grense som ikke selv er et rasjonalt tall. Ett eksempel er gitt i det følgende:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}x_{1}&=1\\x_{n}&={1 \over 2}(x_{n-1}+{2 \over x_{n-1}})&n>1\\\end{array}}}$

Alle elementene er rasjonale, men følgen konvergerer mot kvadratroten av to, som er et irrasjonalt tall.

Cauchy-kriteriet

Cauchy-kriteriet for en følge av reelle tall sier at følgen er konvergent hvis og bare hvis følgen er en Cauchy-følge.

Referanser

Litteratur

• Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.  Sjekk datoverdier i |dato= (hjelp)

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Cauchy Sequence i MathWorld.