Covariantiematrix

Een covariantiematrix is in de kansrekening en statistiek een matrix met als elementen de paarsgewijze covarianties van een ${\displaystyle m}$-tal toevalsvariabelen of hun schattingen.

Populatie

Betreft het de populatie, en worden de ${\displaystyle m}$ toevalsvariabelen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}}$ voorgesteld door de vector ${\displaystyle X}$, dan is de covariantiematrix:

${\displaystyle \mathrm {cov} (X)=(\mathrm {cov} (X_{r},X_{k}))=\mathrm {E} ((X-\mathrm {E} X)(X-\mathrm {E} X)^{T})}$,

dus een ${\displaystyle m\times m}$-matrix ${\displaystyle \mathrm {cov} (X)}$ met als ${\displaystyle rk}$-e element:

${\displaystyle (\mathrm {cov} (X))_{rk}=\mathrm {cov} (X_{r},X_{k})}$

Steekproef

Gaat het om een steekproef van omvang ${\displaystyle n}$ uit de populatie van de ${\displaystyle m}$ toevalsvariabelen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}}$, dan wordt als schatter van de bovengenoemde covariantiematrix ${\displaystyle \mathrm {cov} (X)}$ vaak de (steekproef)covariantiematrix ${\displaystyle C}$ berekend, bepaald door de schattingen van de elementen van ${\displaystyle \mathrm {cov} (X)}$, dus:

${\displaystyle C_{rk}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i}(x_{ri}-x_{r\,\cdot })(x_{ki}-x_{k\,\cdot }),}$

waarin een stip als index aangeeft dat over de betrokken index gemiddeld is.

Eigenschappen

• Een (reële) covariantiematrix is symmetrisch en positief semi-definiet.
• Op de hoofddiagonaal van de covariantiematrix staan de varianties van de afzonderlijke toevalsvariabelen.
• Voor een ${\displaystyle m\times m}$-matrix ${\displaystyle A}$ geldt: ${\displaystyle \mathrm {cov} (AX)=A\ \mathrm {cov} (X)A^{T}}$.
• Voor verschuiving over een vector ${\displaystyle b}$ geldt: ${\displaystyle \mathrm {cov} (X+b)=\mathrm {cov} (X)}$.
• Als ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$ ongecorreleerde vectoren van toevalsvariabelen zijn, geldt: ${\displaystyle \mathrm {cov} (X+Y)=\mathrm {cov} (X)+\mathrm {cov} (Y)}$.

Zie ook

• Simultane verdeling
• Multivariate normale verdeling