Binomiale verdeling

Binomiale verdeling
Kansfunctie
Verdelingsfunctie
Parameters	${\displaystyle n\geq 0}$ aantal pogingen (geheel) ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ kans op succes (reëel)
Drager	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}}$
Kansfunctie	${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Verdelingsfunctie	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$ met ${\displaystyle I}$ de onvolledige bètafunctie.
Verwachtingswaarde	${\displaystyle n\,p}$
Mediaan	een uit ${\displaystyle \{\lfloor n\,p\rfloor -1,\lfloor n\,p\rfloor ,\lfloor n\,p\rfloor +1\}}$
Modus	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor }$
Variantie	${\displaystyle n\,p\,(1-p)}$
Scheefheid	${\displaystyle {\frac {1-2\,p}{\sqrt {n\,p\,(1-p)}}}}$
Kurtosis	${\displaystyle {\frac {1-6\,p\,(1-p)}{n\,p\,(1-p)}}}$
Moment- genererende functie	${\displaystyle (1-p+p\,e^{t})^{n}}$
Karakteristieke functie	${\displaystyle (1-p+p\,e^{i\,t})^{n}}$
Portaal    Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de verdeling is van het aantal successen ${\displaystyle X}$ in een reeks van ${\displaystyle n}$ onafhankelijke alternatieven alle met succeskans ${\displaystyle p}$. Zo'n experiment wordt ook wel een bernoulli-experiment genoemd.

In het geval ${\displaystyle n=1}$, komt de binomiale verdeling overeen met de bernoulli-verdeling.

Definitie

In een reeks van ${\displaystyle n}$ bernoulli-experimenten kunnen ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n}$ successen voorkomen. Het aantal successen is een stochastische variabele ${\displaystyle X}$. Als ${\displaystyle p}$ de kans op succes is, zegt men dat ${\displaystyle X}$ binomiaal verdeeld is met parameters ${\displaystyle n}$ en succeskans ${\displaystyle p}$, en noteert:

${\displaystyle X\sim B(n,p)}$,

of ook

${\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$

De kans op precies ${\displaystyle k}$ successen kan gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat elke reeks uitkomsten met ${\displaystyle k}$ successen en ${\displaystyle n-k}$ mislukkingen dezelfde kans ${\displaystyle p^{k}(1-p)^{n-k}}$ heeft. Omdat er ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ (zie binomiaalcoëfficiënt) verschillende reeksen zijn met precies ${\displaystyle k}$ successen, wordt de kansfunctie voor ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$ gegeven door:

${\displaystyle f(k;n,p)=P(X=k)={\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

Voorbeeld

We gooien 4 keer met een (eerlijke) dobbelsteen. We kunnen 0, 1, 2, 3 of 4 keer een 6 gooien. Het aantal keren dat we 6 gooien, ${\displaystyle X}$, is ${\displaystyle B(4,1/6)}$-verdeeld. Hoe groot is de kans dat we van de 4 worpen 1 keer een 6 gooien? Hier is ${\displaystyle n=4,\ p=1/6}$ en ${\displaystyle k=1}$, dus:

${\displaystyle P(X=1)=f(1;4,{\tfrac {1}{6}})={\tbinom {4}{1}}({\tfrac {1}{6}})^{1}(1-{\tfrac {1}{6}})^{3}=4\times {\tfrac {1}{6}}\times {\tfrac {125}{216}}=0{,}386}$

Momenten

De verwachtingswaarde en de variantie van een ${\displaystyle B(n,p)}$-verdeelde stochastische variabele ${\displaystyle X}$ laten zich het eenvoudigst bepalen door ${\displaystyle X}$ te schrijven als de som van ${\displaystyle n}$ onafhankelijke, ${\displaystyle B(1,p)}$-verdeelde variabelen: ${\displaystyle X=X_{1}+\ldots +X_{n}}$. Dan volgt:

${\displaystyle EX=E(X_{1}+\ldots +X_{n})=nE(X_{1})=np}$

en

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {var} (X_{1}+\ldots +X_{n})=n\,\operatorname {var} (X_{1})=np(1-p)}$.

De bovenstaande relaties kunnen ook afgeleid worden met behulp van berekeningen soortgelijk aan de volgende:

${\displaystyle EX(X-1)(X-2)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(k-2){\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

${\displaystyle =n(n-1)(n-2)p^{3}\sum _{k=3}^{n}{\frac {(n-3)!}{(k-3)!(n-k)!}}p^{k-3}(1-p)^{n-k}=n(n-1)(n-2)p^{3}}$.

Uit deze betrekking kan het derde moment ${\displaystyle EX^{3}}$ bepaald worden, en daarmee de scheefheid van de verdeling.

Ook volgt daaruit direct:

${\displaystyle EX=\sum _{k=0}^{n}k{\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=np}$

en

${\displaystyle EX(X-1)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1){\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=n(n-1)p^{2}}$.

Uit deze laatste relatie volgt weer:

${\displaystyle EX^{2}=n(n-1)p^{2}+np}$,

zodat

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=EX^{2}-(EX)^{2}=n(n-1)p^{2}+np-n^{2}p^{2}=np(1-p)}$.

Benadering

Het is nogal bewerkelijk of bijna ondoenlijk om voor grote waarden van het aantal experimenten ${\displaystyle n}$ de exacte kansen te berekenen. Dit is ook niet nodig omdat de binomiale verdeling voor grote ${\displaystyle n}$ benaderd kan worden door een normale verdeling of door een Poissonverdeling.

Als vuistregel neemt men wel dat de ${\displaystyle B(n,p)}$-verdeling voor ${\displaystyle n>25}$ goed benaderd kan worden door een geschikte normale verdeling, mits de succeskans ${\displaystyle p}$ niet te klein of te groot is. Als vuistregel geldt: ${\displaystyle np>5}$ en ${\displaystyle n(1-p)>5}$. Voor kleinere en grotere waarden van ${\displaystyle p}$ is de binomiale verdeling te scheef om door de symmetrische normale verdeling goed benaderd te worden. Een benadering door een geschikte Poissonverdeling is dan mogelijk.

Normale benadering

De stochastische variabele ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle B(n,p)}$-verdeeld. Voor toenemende ${\displaystyle n}$ nadert de verdeling van ${\displaystyle X}$ naar een normale verdeling, dus met verwachtingswaarde ${\displaystyle EX=np}$ en variantie ${\displaystyle \mathrm {var} (X)=np(1-p)}$. Er geldt dus:

${\displaystyle P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)=P\left(Z\leq {\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}$.

Daarin is ${\displaystyle Y\ N(np,np(1-p))}$-verdeeld en ${\displaystyle Z}$ standaardnormaal verdeeld.

Omdat de binomiale verdeling een discrete verdeling is, geldt

${\displaystyle P(X\leq k)=P(X<k+1)\approx P(Y\leq k+1)}$,

hetgeen leidt tot twee (en meer) mogelijke benaderingen, die voor niet al te grote waarden van ${\displaystyle n}$ nogal verschillen. Om dit probleem te ondervangen past men wel de zogenaamde continuïteitscorrectie toe, en neemt als betere benadering een waarde tussen de genoemde uitersten, en wel:

${\displaystyle P(X\leq k)=P(X<k+1)\approx P(Y\leq k+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})=P\left(Z\leq {\frac {k+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}$.

Voorbeeld

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere munt ten hoogste 10 keer kruis te gooien? Noem ${\displaystyle X}$ het aantal keren kruis; ${\displaystyle X}$ is dus ${\displaystyle B(25,{\tfrac {1}{2}})}$-verdeeld is. De gevraagde kans is:

${\displaystyle P(X\leq 10)=0{,}2122}$.

Omdat ${\displaystyle EX=np=12{,}5}$ en ${\displaystyle \mathrm {var} (X)=np(1-p)=6{,}25}$, kan deze kans benaderd worden met behulp van een ${\displaystyle N(12{,}5;6{,}25)}$-verdeling.

${\displaystyle P(X\leq 10)\approx P(Y\leq 10)=P\left(Z\leq {\frac {10-12{,}5}{\sqrt {6{,}25}}}\right)=P(Z<-1)=0{,}1587}$.

Men kan ook berekenen:

${\displaystyle P(X<11)\approx P(Y<11)=P\left(Z\leq {\frac {11-12{,}5}{\sqrt {6{,}25}}}\right)=P(Z<-0{,}6)=0{,}2743}$.

Dat zijn twee benaderingen die nogal uiteenlopen, maar waar de werkelijke waarde wel tussen ligt. Met de continuïteitscorrectie wordt de benadering:

${\displaystyle P(X\leq 10)\approx P(Y\leq 10{,}5)=P\left(Z\leq {\frac {10{,}5-12{,}5}{\sqrt {6{,}25}}}\right)=P(Z<-0{,}8)=0{,}2119}$.

Poissonbenadering

Omdat de ${\displaystyle B(n,p)}$-verdeling voor toenemende ${\displaystyle n}$ en constante waarde van ${\displaystyle np=\mu }$ nadert naar de Poissonverdeling met parameter ${\displaystyle \mu }$, kan de ${\displaystyle B(n,p)}$-verdeling voor grote waarden van ${\displaystyle n}$ en waarden van ${\displaystyle p}$ in de buurt van 0 benaderd worden door een geschikte Poissonverdeling. In dat geval geldt dus: ${\displaystyle X\sim B(n,p)}$:

${\displaystyle P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)}$.

Daarin is ${\displaystyle Y}$ Poissonverdeeld met parameter ${\displaystyle np}$.

Ook voor waarden van ${\displaystyle p}$ in de buurt van 1 kan deze benadering gebruikt worden, zij het dat men niet de verdeling van ${\displaystyle X}$ benadert, maar de verdeling van ${\displaystyle n-X}$, die ${\displaystyle B(n,1-p)}$-verdeeld is, dus met een kleine waarde van ${\displaystyle Bp}$.

Voorbeeld

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen ten hoogste 2 keer 6 te gooien? Noem ${\displaystyle X}$ het aantal keren 6. Dus ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle B(25,1/6)}$-verdeeld. De gevraagde kans is:

${\displaystyle P(X\leq 2)=0{,}1887}$.

Omdat ${\displaystyle EX=np=25/6}$ kan we deze kans benaderd worden met behulp van een Poissonverdeling met parameter 25/6.

${\displaystyle P(X\leq 2)\approx P(Y\leq 2)=0{,}2147}$.

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen minstens 20 keer geen 6 te gooien? Noem ${\displaystyle X}$ het aantal keren dat geen 6 gegooid wordt. ${\displaystyle X}$ is dus ${\displaystyle B(25,5/6)}$-verdeeld. De gevraagde kans is:

${\displaystyle P(X\geq 20)=0{,}7720}$.

Nu is ${\displaystyle p}$ tamelijk groot, maar de vraag kan ook geformuleerd worden als de kans op ten hoogste 5 keer 6.

${\displaystyle P(X\geq 20)=P(25-X\leq 5)}$.

En ${\displaystyle 25-X}$ is weer ${\displaystyle B(25,1/6)}$-verdeeld, dus:

${\displaystyle P(X\geq 20)=P(25-X\leq 5)\approx P(Y\leq 5)=0{,}7586}$.

Zie ook

• De multinomiale verdeling is een uitbreiding van de binomiale verdeling die gebruikt wordt wanneer het experiment geen twee, maar meer uitkomsten heeft.
• De hypergeometrische verdeling is het analogon van de binomiale verdeling wanneer er sprake is van een steekproef uit een eindige populatie zonder terugleggen.
• Binomium van Newton.