ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数
のハンケル変換は以下で定義される。
![{\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7c73ccfe26d21ebd6f720076ffcb1016ec7405)
ここで Jν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 Fν(k) は以下となることが分かる。
![{\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k~dk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442ddf9ceabb0c76b296da2badf783055adb7db)
ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。
定義域
関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ce6afb68eaa4fcde83c3cf514442ab14d9a276)
が有限であるときである。
しかしフーリエ変換と同様に、たとえば
のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。
基底関数の直交性
ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r~dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa7cfc6e00c3959169f2766c240d69e3b9b1fc2)
ここで k と k' はどちらも 0 より大きい。
プランシュレルの定理とパーセバルの定理
関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r~dr=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k~dk.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259ecb903c4da81d7023c006f0cdfac48659a829)
プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r~dr=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k~dk.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006fd7b8ce7d11e5b5ca4ca0fce7c8080a423c22)
これらのことは、基底の直交性から導かれる。
他の積分変換との関連
フーリエ変換との関連
零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。
動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。
![{\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d\mathbf {r} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9c6af1d8b254847bea32dda9706ced3fa66189)
ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。
![{\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,dr\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327eb9bc4cd19977de8e046d1f7f6e9fd4c7f4d1)
ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。
![{\displaystyle F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\,dr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2b14104acd7313d552fed61f45d4f166fae11e)
これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。
フーリエ変換、アーベル変換との関連
ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。
![{\displaystyle FA=H.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48747dcd4ce16bb413f6ba04d28a3dd60b940314)
つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。
変換表
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| for m odd for m even |
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は第2種変形ベッセル関数である。表中の
は、球対称な関数
に極座標系
におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。
参考文献
- Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
- Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
- Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed. ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 179–223
- GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換[リンク切れ]
典拠管理データベース: 国立図書館 ![ウィキデータを編集](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | |
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