Regola del rettangolo

La regola del rettangolo o regola del punto medio, è il più semplice procedimento di integrazione numerica per approssimare un integrale definito nella forma : $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ .

Tale formula approssima l'integrale (e quindi l'area sottesa dalla funzione) come un rettangolo di base $b-a$ e di altezza $f(c)$ , dove a e b sono gli estremi di integrazione e c è il punto medio dell'intervallo, ottenendo un'espressione finale per l'integrale pari a: $I_{r}=(b-a)f(c)=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

Formula composita

Illustrazione del metodo del punto medio composito

Per calcolare con più accuratezza l'integrale, si divide l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in $M$ sottointervalli di ampiezza uniforme pari a $h={\frac {b-a}{M}}$

La formula del punto medio diventerà dunque $I_{r}^{c}=h\sum _{k=1}^{M}f({\bar {x}}_{k})$ , dove ${\bar {x}}_{k}$ rappresenta il punto medio del k-esimo sottointervallo.

Analisi dell'errore

L'errore sviluppato con il metodo del rettangolo, assumerà la seguente espressione: ${\mathcal {E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-I_{r}={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )$ , dove $\xi$ è un opportuno punto compreso nell'intervallo $[a,b]$ .

Nel caso si usi il metodo composito l'errore sarà ${\mathcal {E}}=h^{2}{\frac {b-a}{24}}f''(\xi )$ . Dalla formula dell'errore si deduce che il metodo integra esattamente polinomi di primo grado, e che l'errore diminuisce quadraticamente rispetto all'ampiezza dei sottointervalli $h$ .

Implementazione su calcolatore

In MATLAB la formula del rettangolo composita può essere implementata come segue:

function I = Ret_c(a,b,M,f)

%Dati a e b, estremi di integrazione,M numero di sottintervalli in cui dividere l'intervallo d'integrazione
%f funzione integranda, definita come inline o function handle, restituisce il valore dell'integrale approssimato

h=(b-a)/M;

x=a+h/2:h:b-h/2; 

I=h*sum(f(x));