Metodo di Eulero semi-implicito

In matematica il metodo di Eulero semi-implicito, detto anche Eulero simplettico, Eulero semi-esplicito, Eulero-Cromer[1], e Newton-Størmer-Verlet (NSV), è una variante del metodo di Eulero usato per risolvere equazioni di Hamilton. È un integratore simplettico, pertanto consente di ottenere risultati migliori rispetto al metodo di Eulero semplice.

Impostazione del problema

Il metodo può essere applicato ad una coppia di equazioni differenziali nella forma

d x d t = f ( t , v ) {\displaystyle {dx \over dt}=f(t,v)}
d v d t = g ( t , x ) {\displaystyle {dv \over dt}=g(t,x)}

dove f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} sono funzioni date e x {\displaystyle x} e v {\displaystyle v} possono essere vettori o scalari. Le equazioni di Hamilton assumono questa forma se la funzione hamiltoniana ha la forma

H = T ( t , v ) + V ( t , x ) {\displaystyle H=T(t,v)+V(t,x)}

Inoltre le condizioni iniziali devono essere note:

x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
v ( t 0 ) = v 0 {\displaystyle v(t_{0})=v_{0}}

Formulazione del metodo

Il metodo produce una soluzione discreta approssimata iterando le seguenti funzioni:

v n + 1 = v n + g ( t n , x n ) Δ t {\displaystyle v_{n+1}=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\Delta t}
x n + 1 = x n + f ( t n , v n + 1 ) Δ t {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\Delta t}

dove Δ t {\displaystyle \Delta t} è l'intervallo di tempo e t n = t 0 + n Δ t {\displaystyle t_{n}=t_{0}+n\Delta t} è il tempo dopo n {\displaystyle n} iterazioni.

La differenza con il metodo di Eulero classico consiste nel fatto che il metodo semi-implicito usa v n + 1 {\displaystyle v_{n+1}} nell'equazione per x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} , mentre il metodo classico usa v n {\displaystyle v_{n}} .

Utilizzando il metodo con un intervallo di tempo negativo per calcolare ( x n , v n ) {\displaystyle (x_{n},v_{n})} da ( x n + 1 , v n + 1 ) {\displaystyle (x_{n+1},v_{n+1})} consente di ottenere la seconda variante del metodo di Eulero semi-implicito:

x n + 1 = x n + f ( t n , v n ) Δ t {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\Delta t}
v n + 1 = v n + g ( t n , x n + 1 ) Δ t {\displaystyle v_{n+1}=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\Delta t}

la quale presenta simili proprietà.

Il metodo di Eulero semi-implicito, come quello classico, è un integratore del primo ordine: ciò significa che produce un errore dell'ordine di Δt. Tuttavia, a differenza del metodo classico, quello semi-implicito è un integratore simplettico, perciò conserva quasi inalterata l'energia (se la funzione hamiltoniana è indipendente dal tempo), mentre nel metodo classico essa aumenta costantemente.

Alternare le due varianti del metodo semi-implicito conduce, in una forma semplificata, all'integrazione di Størmer-Verlet e in un'altra forma semplificata al metodo del salto della rana, aumentando sia l'ordine dell'errore che quello della conservazione dell'energia.

Il metodo di Eulero semi-implicito rappresenta correttamente il sistema simulato se le radici complesse dell'equazione caratteristica si trovano all'interno di questa circonferenza:

Come si può vedere, il metodo è in grado di simulare correttamente sia sistemi stabili che instabili. Ciò costituisce un vantaggio rispetto al metodo classico e a quello implicito.

Esempio

Il moto di una molla, seguendo la legge di Hooke, si può rappresentare come:

d x d t = v ( t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(t)}
d v d t = − k m x = − ω 2 x {\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x}

Il metodo di Eulero semi-implicito in questo caso è:

v n + 1 = v n − ω 2 x n Δ t {\displaystyle v_{n+1}=v_{n}-\omega ^{2}x_{n}\Delta t}
x n + 1 = x n + v n + 1 Δ t {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+v_{n+1}\Delta t}

Sostituendo v n + 1 {\displaystyle v_{n+1}} nella seconda equazione con l'espressione data dalla prima equazione, l'iterazione può essere espressa nella seguente forma matriciale:

[ x n + 1 v n + 1 ] = [ 1 − ω 2 Δ t 2 Δ t − ω 2 Δ t 1 ] [ x n v n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\v_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\omega ^{2}\Delta t^{2}&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\v_{n}\end{bmatrix}}}

Note

  1. ^ (EN) Alan Cromer, Stable solutions using the Euler approximation (abstract), in The American Journal of Physics, vol. 49, n. 5, 1981, pp. 455-459.

Bibliografia

  • (EN) Franz J. Vesely, Computational Physics: An Introduction, 2nd, Springer, 2001, pp. 117, ISBN 978-0-306-46631-1.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Branislav K. Nikolic, Euler-Cromer method, su physics.udel.edu, University of Delaware. URL consultato il 29 settembre 2021.
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