Matrice delle covarianze

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In statistica multivariata e in probabilità, la matrice delle covarianze (o matrice di varianza e covarianza) si indica di solito con ${\displaystyle \Sigma }$ ed è una generalizzazione della covarianza al caso di dimensione maggiore di due. Essa è una matrice che rappresenta la variazione di ogni variabile rispetto alle altre (inclusa se stessa). È una matrice simmetrica.

Statistica

Sia data una popolazione di ${\displaystyle n}$ elementi su cui sono rilevati ${\displaystyle k}$ caratteri quantitativi ${\displaystyle X_{i}}$. Cioè ogni ${\displaystyle X_{i}}$ con ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ è un vettore di ${\displaystyle n}$ elementi, indicati con ${\displaystyle x_{hi}}$ con ${\displaystyle h=1,\dots ,n}$. L'elemento ${\displaystyle x_{hi}}$ rappresenta quindi la modalità dell'${\displaystyle h}$-esima unità statistica rispetto al carattere ${\displaystyle X_{i}}$. La matrice delle covarianze ha dimensione ${\displaystyle k\times k}$ e ogni elemento è definito come

${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{h=1}^{n}(x_{hi}-\mu _{i})(x_{hj}-\mu _{j}),}$

dove ${\displaystyle \mu _{i}}$ indica la media del carattere ${\displaystyle X_{i}}$.

Significato dei valori

Ogni elemento sulla diagonale ${\displaystyle \sigma _{ii}^{2}}$ è la varianza del carattere ${\displaystyle X_{i}}$ ed è quindi sempre un valore non negativo. Ogni elemento ${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}}$ (con ${\displaystyle i\neq j}$) è la covarianza tra i caratteri ${\displaystyle X_{i}}$ e ${\displaystyle X_{j}}$. Nel caso in cui questo valore sia positivo, significa che al crescere di un carattere, cresce anche l'altro. Nel caso in cui questo valore sia negativo, accade il contrario. Se i caratteri sono statisticamente indipendenti, questo valore è ${\displaystyle 0}$ (l'implicazione inversa non è necessariamente verificata).

Applicazioni

Oltre al significato statistico che possiamo dedurre dai termini, la matrice delle covarianze è un parametro della funzione gaussiana, nella statistica multivariata.

Può inoltre essere d'ausilio alla riduzione delle features, tramite l'analisi delle componenti principali (PCA).

Bibliografia

• Richard O. Duda, Peter E. Hart, David G. Stork, Wiley Interscience - Pattern Classification (2nd ed.)

Voci correlate

• Funzione di ripartizione della variabile casuale normale
• Variabile casuale normale
• Funzione gaussiana
• Teorema del limite centrale
• Analisi delle componenti principali
• Varianza
• Covarianza (probabilità)
• Media (statistica)

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