Insieme di Vitali

In matematica, l'insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita (in particolare non è misurabile rispetto alla misura di Lebesgue). Per la costruzione dell'insieme di Vitali è indispensabile l'assioma della scelta.

La costruzione procede nel seguente modo:

• Si definisce sui numeri reali dell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ la seguente relazione di equivalenza: si dice che ${\displaystyle x}$ è equivalente a ${\displaystyle y}$ se la loro differenza è un numero razionale.
• Si considera l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile, poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme ${\displaystyle [0,1]}$ stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).
• Per l'assioma della scelta esiste un insieme che contiene esattamente un rappresentante di ogni classe, chiamiamolo ${\displaystyle V}$: è l'insieme di Vitali.

L'insieme di Vitali ha le seguenti proprietà:

• Se lo si trasla di una quantità pari ad un qualsiasi numero razionale strettamente positivo, occuperà punti completamente diversi da quelli che occupava inizialmente. Più formalmente, l'insieme ${\displaystyle V}$ e il suo traslato ${\displaystyle V+q}$ sono disgiunti per qualsiasi ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$. Questo perché se per assurdo fosse ${\displaystyle V\cap T_{q}(V)\neq \emptyset }$, dove ${\displaystyle T_{q}(V)=V+q}$ con ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}}$, esisterebbero ${\displaystyle x,y\in V}$ distinti, e quindi con ${\displaystyle (y-x)\notin \mathbb {Q} }$ essendo rappresentanti di diverse classi di equivalenza, tali che ${\displaystyle y=T_{q}(x)}$. Ma allora, ${\displaystyle y=x+q}$, ovvero ${\displaystyle (y-x)=q\in \mathbb {Q} }$, che è assurdo avendo osservato che ${\displaystyle (y-x)\notin \mathbb {Q} }$ per ogni ${\displaystyle x,y\in V}$ distinti.
• Dato un qualunque punto ${\displaystyle x\in [0,1]}$, questo apparterrà a qualcuna delle traslazioni ${\displaystyle V+q}$ con ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$: infatti ${\displaystyle x}$ apparterrà a qualcuna delle classi di equivalenza definite sopra, e dato che in ${\displaystyle V}$ c'è un rappresentante di ogni classe, allora in ${\displaystyle V}$ c'è un punto che dista da ${\displaystyle x}$ una quantità pari ad un numero razionale.

Dalle proprietà enunciate discende la non misurabilità di ${\displaystyle V}$ nel caso in cui la misura ${\displaystyle \mu }$ verifichi le seguenti proprietà:

• per ogni insieme ${\displaystyle A}$ si verifica l'invarianza per traslazioni, ovvero ${\displaystyle \mu (x+A)=\mu (A)}$.
• positività: ${\displaystyle \mu (\mathbb {R} )\neq 0}$
• si verifica ${\displaystyle \mu ([a,b])<\infty }$ per ogni ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$. Grazie all'invarianza per traslazioni, affinché valga questa condizione è sufficiente assumere che ${\displaystyle \mu }$ è una misura sigma-finita.

Per dimostrare la non misurabilità di ${\displaystyle V}$ rispetto alla misura ${\displaystyle \mu }$ si assume che sia definito il valore di ${\displaystyle \mu (V)}$ e si ricava una contraddizione con le ipotesi. Si consideri l'insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di ${\displaystyle V}$ di numeri razionali compresi tra ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 1}$. A tale scopo, si prenda inizialmente una enumerazione ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots }$ dei razionali di ${\displaystyle [-1,1]}$, e si definisca l'insieme:

${\displaystyle U=(V+q_{1})\cup (V+q_{2})\cup \dots \cup (V+q_{n})\cup \dots }$

Si osserva che ${\displaystyle \mu (U)<\infty }$ perché ${\displaystyle U}$ è un insieme limitato (${\displaystyle U\subset [-1,2]}$ e quindi viene dalla terza proprietà di ${\displaystyle \mu }$). Poiché ${\displaystyle U}$ è un'unione disgiunta di insiemi, per le proprietà delle misure si ha che:

${\displaystyle \mu (U)=\mu (V+q_{1})+\mu (V+q_{2})+\dots +\mu (V+q_{n})+\dots }$

e per l'invarianza di ${\displaystyle \mu }$ per traslazioni:

${\displaystyle \mu (U)=\mu (V)+\mu (V)+\dots +\mu (V)+\dots }$

ma poiché la quantità a sinistra dell'uguaglianza è finita, la relazione appena scritta implica che ${\displaystyle \mu (V)=0}$, e quindi anche ${\displaystyle \mu (U)=0}$. Si è osservato prima, tuttavia, che ogni ${\displaystyle x\in [0,1]}$ si trova in uno dei ${\displaystyle V+q_{n}}$, quindi ${\displaystyle U}$ deve includere tutto l'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$. Ma allora, dalle proprietà delle misure, si ha ${\displaystyle \mu ([0,1])\leq \mu (U)}$ e si è visto che quest'ultima è nulla, quindi ${\displaystyle \mu ([0,1])=0}$ e per l'invarianza per traslazioni si deve avere anche ${\displaystyle \mu (\mathbb {R} )=0}$, il che contraddice le ipotesi su ${\displaystyle \mu }$.

• Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006, p. 120.
• Giuseppe Vitali, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, in Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

• Assioma della scelta
• Insieme misurabile
• Misura (matematica)

• Paradosso di Banach-Tarski

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