Icosidodecadodecaedro camuso

Icosidodecadodecaedro camuso
TipoPoliedro stellato uniforme
Forma facce20+60 triangoli
12 pentagoni
12 pentagrammi
Nº facce104
Nº spigoli180
Nº vertici60
Caratteristica di Eulero-16
Incidenza dei vertici3.3.3.5.3.5/3
Notazione di Wythoff| 5/3 3 5
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeEsacontaedro esagonale medio
ProprietàNon convessità
Politopi correlati
Figura al vertice
Poliedro duale
Manuale

In geometria, l'icosidodecadodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme avente 104 facce - 80 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici dell'icosidodecadodecaedro camuso, spesso indicato con il simbolo U46 e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

( ± 2 α , ± 2 γ , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2\gamma ,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 + γ φ ) , ± ( − α φ + β + γ φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ − γ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\gamma \varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\gamma \varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -\gamma )\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ + γ ) , ± ( − α + β φ − 1 − γ φ ) , ± ( α φ + β − γ φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +\gamma ),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\gamma \varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ − γ ) , ± ( α − β φ − 1 − γ φ ) , ± ( α φ + β + γ φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -\gamma ),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\gamma \varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 − γ φ ) , ± ( α φ − β + γ φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ + γ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\gamma \varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\gamma \varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +\gamma )\,\right)}

con un numero pari di segni più, dove φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} è la sezione aurea, ρ ≈ 1 , 324718 {\displaystyle \rho \approx 1,324718} è il numero plastico, ossia l'unica soluzione reale dell'equazione x 3 = x + 1 {\displaystyle x^{3}=x+1} , e

α = ρ + 1 = ρ 3 ≈ 2 , 324718 {\displaystyle \alpha =\rho +1=\rho ^{3}\approx 2,324718}
β = φ 2 ρ 4 + φ ≈ 9 , 680520 {\displaystyle \beta =\varphi ^{2}\rho ^{4}+\varphi \approx 9,680520}
γ = ρ 2 + φ ρ ≈ 3 , 898317 {\displaystyle \gamma =\rho ^{2}+\varphi \rho \approx 3,898317}

Poliedri correlati

Esacontaedro esagonale medio

Esacontaedro esagonale medio
TipoPoliedro stellato
Forma facceEsagoni irregolari
Nº facce60
Nº spigoli180
Nº vertici104
Caratteristica di Eulero-16
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeIcosidodecadodecaedro camuso
Manuale

L'esacontaedro esagonale medio è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale dell'icosidodecadodecaedro camuso, avente per facce 60 esagoni irregolari.[2]

Dato un icosidodecadodecaedro camuso di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro esagonale medio come composto da 60 facce intersecanti a forma di esagono irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea, il già citato numero plastico e il numero ξ = − 1 / ( 2 ρ ) {\displaystyle \xi =-1/(2\rho )} , ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a arccos ⁡ ( ξ ) ≈ 112 , 175 128 045 27 ∘ {\displaystyle \arccos(\xi )\approx 112,175\,128\,045\,27^{\circ }} , uno ampio arccos ⁡ ( ϕ 2 ξ + ϕ ) ≈ 50 , 958 265 917 31 ∘ {\displaystyle \arccos(\phi ^{2}\xi +\phi )\approx 50,958\,265\,917\,31^{\circ }} e uno ampio 360 ∘ − arccos ⁡ ( ϕ − 2 ξ − ϕ − 1 ) ≈ 220 , 341 221 901 59 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(\phi ^{-2}\xi -\phi ^{-1})\approx 220,341\,221\,901\,59^{\circ }} , con due lati corti di lunghezza pari a 1 − ( 1 − ξ ) / ( ϕ 3 − ξ ) ≈ 0 , 453 587 559 98 {\displaystyle 1-{\sqrt {(1-\xi )/(\phi ^{3}-\xi )}}\approx 0,453\,587\,559\,98} , due più grandi di lunghezza pari a 1 + ( 1 − ξ ) / ( − ϕ − 3 − ξ ) ≈ 4 , 121 448 816 41 {\displaystyle 1+{\sqrt {(1-\xi )/(-\phi ^{-3}-\xi )}}\approx 4,121\,448\,816\,41} e due medi di lunghezza pari a 2.

Note

  1. ^ Roman Maeder, 46: snub icosidodecadodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
  2. ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 120. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Icosidodecadodecaedro camuso, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Esacontaedro esagonale medio, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.
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