Equazione algebrica

In matematica si chiamano equazioni algebriche o polinomiali quelle equazioni equivalenti (o riconducibili tramite opportune trasformazioni) ad un polinomio uguagliato a zero. Il grado di tale polinomio è anche il grado dell'equazione.

Descrizione

Un'equazione polinomiale di grado $n$ in una incognita si può esprimere nella forma:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0,

dove gli $a_{i}$ sono numeri reali (o in generale complessi) e $x$ è l'incognita da determinare. Il tipo più semplice di equazioni algebriche sono le equazioni lineari, cioè di primo grado.

In virtù del teorema fondamentale dell'algebra ogni equazione di grado $n$ ammette esattamente $n$ soluzioni nel campo complesso.

Il criterio di Cartesio stabilisce il numero massimo di soluzioni nel campo reale per un'equazione di grado $n$ : il massimo numero di soluzioni reali positive è dato dal numero di variazioni di segno fra coefficienti consecutivi $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$ , trascurando eventuali coefficienti nulli.

Le equazioni di secondo grado sono chiamate quadratiche; seguono le cubiche e le quartiche. Per il teorema di Abel-Ruffini le equazioni di grado superiore al quarto non sono generalmente risolvibili per radicali.

Tra le equazioni particolari di grado superiore al terzo, si ricordano:

equazioni binomie ( $ax^{n}+b=0\;$ ),
equazioni biquadratiche ( $ax^{4}+bx^{2}+c=0\;$ ),
equazioni trinomie ( $ax^{2n}+bx^{n}+c=0\;$ ),
equazioni reciproche (in cui, se un numero è soluzione, lo è anche il suo reciproco).

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Collegamenti esterni

Equazione algebrica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) algebraic equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Opere riguardanti Algebraic Equations, su Open Library, Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein, Algebraic Equation, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Algebraic equation, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Alcuni momenti significativi della storia delle equazioni algebriche (PDF), su ulisse.sissa.it. URL consultato il 27 aprile 2008 (archiviato dall'url originale il 22 luglio 2011).