In matematica, la disuguaglianza di Young afferma che se
e
sono numeri reali positivi e
tali che
, allora
![{\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e422fce8a2982b6c59153aafdbf850e79ae8dbf6)
L'uguaglianza vale solo se
, dal momento che
.
La disuguaglianza di Young è un caso particolare della versione pesata della disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. Essa viene utilizzata nella dimostrazione della disuguaglianza di Hölder.
Dimostrazione
Sappiamo che la funzione
è convessa, dal momento che la sua derivata seconda è positiva per ogni valore di x. Pertanto, possiamo scrivere:
.
Dove è stata usata la disuguaglianza di convessità, ossia il fatto che una funzione f è convessa se e solo se per ogni t compreso tra 0 ed 1 (estremi inclusi),
![{\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3318f6d67b5eecef917137e51e8ea32ec039b91)
Dimostrazione alternativa
Sia
una funzione convessa (
). La sua trasformata di Legendre è, per definizione,
![{\displaystyle f^{\star }(b)={\underset {a}{\max }}\left(ba-{\frac {a^{p}}{p}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7c14c6d392ac69cdbb5c695912c35390d49fc9)
Fissato
, studiamo la derivata prima rispetto a
della funzione
:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F(a,b)}{\mathrm {d} a}}=b-a^{p-1}=0\iff a=b^{\frac {1}{p-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9edbc43d5393792652fea237b94fd5f2c73ed30)
Essendo la funzione concava (la sua derivata seconda è uguale a quella di
, che è una funzione concava, visto che
è convessa), per
la funzione
ha un massimo. Dunque:
![{\displaystyle f^{\star }(b)=b^{\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {b^{q}}{q}},\quad q={\frac {p}{p-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e2f5452b83f438804d648a4770931bcee7c1cf)
Dal momento che
e che la trasformata di Legendre di una funzione convessa è anch'essa una funzione convessa (
), risulta che le condizioni poste affinché valga la disuguaglianza di Young sono equivalenti al fatto che
sia la trasformata di Legendre di
. La dimostrazione della disuguaglianza diventa immediata; infatti, dalla definizione di trasformata di Legendre e di massimo di una funzione:
![{\displaystyle ba-{\frac {a^{p}}{p}}\leq {\underset {a}{\max }}\left(ba-{\frac {a^{p}}{p}}\right)={\frac {b^{q}}{q}}\implies ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2763748503000cc5be5558562edec11b39383f)
Il procedimento utilizzato è del tutto generale, e non dipende dalla scelta di
, purché sia una funzione convessa. È immediato dimostrare che, in generale,
![{\displaystyle px\leq f(x)+f^{\star }(p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9500157a40aba78c50ec3c141f8fa5dbd78028)
Bibliografia
- Vladimir I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5601-3.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) http://mathworld.wolfram.com/YoungsInequality.html - L'articolo di MathWorld sulla disuguaglianza di Young.
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