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Distribuzione di Fisher-Snedecor |
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Funzione di densità di probabilità
![Funzione di densità di probabilità](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/F-distribution_pdf.svg/325px-F-distribution_pdf.svg.png) i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2 |
Funzione di ripartizione
![Funzione di ripartizione](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/F_distributionCDF.png/325px-F_distributionCDF.png) i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2 |
Parametri | (gradi di libertà) |
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Supporto | |
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Funzione di densità | ![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\ d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}\right)^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e6139b8c5c09e14c5e850ea1d3262f09a37093) con la funzione beta) |
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Funzione di ripartizione | ![{\displaystyle I_{\tfrac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c09bccf548db432b25332f6e624fe23b58d604) (con la funzione beta incompleta regolarizzata) |
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Valore atteso | se ![{\displaystyle d_{2}>2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8becc7f9a26666a2faee158c209dba7b42c4b66) infinita altrimenti |
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Moda | se ![{\displaystyle m\leqslant 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee654773346016abd2865295cd8f91c906eb8e72)
se |
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Varianza | per ![{\displaystyle n>4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6b13dc8b113121cdaf76a723a61aa4f8be1468) non definita altrimenti |
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Manuale |
In teoria delle probabilità la distribuzione di Fisher-Snedecor (o F di Snedecor, o Z di Fisher[1]) è una distribuzione di probabilità continua che regola il rapporto "riscalato" tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni
.
Viene impiegata nell'analisi della varianza e in generale per l'omonimo test F.
Prende il nome dai matematici George W. Snedecor (statunitense) e Ronald Fisher (britannico).
Definizione
La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i numeri naturali
governa la variabile aleatoria
,
dove
e
sono variabili aleatorie indipendenti con rispettive distribuzioni chi quadrato con
ed
gradi di libertà,
e
.
Caratteristiche
La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri
ha funzione di densità di probabilità
,
dove
è la funzione beta.
La sua funzione di ripartizione è data dalla funzione beta incompleta regolarizzata,
.
La distribuzione ha momenti semplici di ordine
infiniti per
, altrimenti pari a
.
In particolare ha
- speranza matematica pari a
![{\displaystyle E[F]={\frac {n}{n-2}}{\mbox{ per }}n>2;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be3f179fb88ea3204f85f077651c105e89c0439)
- varianza pari a
![{\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}{\mbox{ per }}n>4;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a44bc660dc2bab6fabc5e5891ce9d4f5eea177)
- indice di asimmetria pari a
![{\displaystyle \gamma _{1}=2{\sqrt {\tfrac {2(n-4)}{m(m+n-2)}}}{\tfrac {2m+n-2}{n-6}}{\mbox{ per }}n>6;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5b4ce5ebf8fc5738242d22cbf4d422342176b1)
- indice di curtosi pari a
![{\displaystyle \gamma _{2}=12\cdot {\frac {n^{3}+5mn^{2}+5m^{2}n-8n^{2}-32mn+22m^{2}+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)}}{\mbox{ per }}n>8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4a2f21ddd5d79e5e92d003facef416a248800f)
La sua moda è
se
e
se
.
Altre distribuzioni
Per definizione, se una variabile aleatoria
segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri
, allora la sua inversa
segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri
. Questa relazione permette di esprimere i quantili di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:
.
Una generalizzazione di questa distribuzione è la distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale, per la quale la variabile aleatoria
nella definizione di
può seguire una distribuzione chi quadrato non centrale.
Se
è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro
, allora
segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri
.
Se
è una variabile aleatoria con distribuzione di Hotelling di parametri
, allora
segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri
.
Se la variabile aleatoria
segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri
, allora
segue la distribuzione Beta
.
Note
Bibliografia
- Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Fisher-Snedecor, su MathWorld, Wolfram Research.
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- (EN) Distribuzione di Fisher-Snedecor, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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