Automa a pila

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Un automa a pila o (noto anche con la sigla PDA, dall'inglese pushdown automaton) è un tipo di macchina astratta, in particolare un automa la cui memoria di lavoro è costituita da una pila, una struttura dati i cui dati possono essere estratti in ordine necessariamente inverso rispetto a quello di inserimento. Un automa a pila è in grado di riconoscere ed accettare tutti i linguaggi che nella teoria delle grammatiche formali sono detti non contestuali, ovvero di tipo 2 secondo la classificazione gerarchica di Chomsky.

L'automa a pila non deterministico è un sistema formale composto da ${\displaystyle M=(\Sigma ,\Gamma ,Z_{0},Q,q_{0},F,\delta )}$^[1], dove:

1. ${\displaystyle \Sigma }$ è l'alfabeto di input;
2. ${\displaystyle \Gamma }$ è l'alfabeto dei simboli della pila;
3. ${\displaystyle Z_{0}\in \Gamma }$ è il carattere iniziale della pila;
4. ${\displaystyle Q}$ è un insieme finito e non vuoto di stati;
5. ${\displaystyle q_{0}\in Q}$ è lo stato iniziale;
6. ${\displaystyle F\subseteq Q}$ è l'insieme degli stati finali;
7. ${\displaystyle \delta :Q\times (\Sigma \cup \{\varepsilon \})\times \Gamma \to {\mathcal {P}}_{finite}(Q\times \Gamma ^{\star })}$ è la funzione parziale di transizione (${\displaystyle \varepsilon }$ è la stringa vuota).

Un automa a pila deterministico è un automa a pila ${\displaystyle M=(\Sigma ,\Gamma ,Z_{0},Q,q_{0},F,\delta )}$ tale che per ogni carattere a di ${\displaystyle \Sigma }$, per ogni stato ${\displaystyle Z}$ di ${\displaystyle \Gamma }$ e per ogni stato ${\displaystyle q}$ di ${\displaystyle Q}$ si ha ${\displaystyle |\delta (q,a,Z)|+|\delta (q,\varepsilon ,Z)|<2}$

Dato un automa a pila ${\displaystyle M=(\Sigma ,\Gamma ,Z_{0},Q,q_{0},F,\delta )}$ si dice configurazione di ${\displaystyle M}$ una tripla ${\displaystyle (q,x,\gamma )}$, dove ${\displaystyle q}$ appartiene a ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle \Sigma ^{\star }}$ e ${\displaystyle \gamma }$ a ${\displaystyle \Gamma ^{\star }}$.

Un automa a pila ha due diversi modi di accettare un linguaggio:

Dato un automa a pila ${\displaystyle M}$, una sua configurazione è di accettazione se ${\displaystyle x=\gamma =\varepsilon }$. In base a tale definizione una stringa ${\displaystyle x}$ è accettata da un automa a pila se e solo se al termine dell'elaborazione di ${\displaystyle x}$ la pila è vuota.

Dato un automa a pila ${\displaystyle M}$, una sua configurazione ${\displaystyle (q,x,\gamma )}$ è di accettazione se ${\displaystyle x=\varepsilon }$ e ${\displaystyle q}$ appartiene a ${\displaystyle F}$. Secondo questa definizione una stringa ${\displaystyle x}$ è accettata da ${\displaystyle M}$ se e solo se al termine dell'elaborazione di ${\displaystyle x}$ stringa l'automa si trova in uno stato finale.

In generale, dato un automa a pila ${\displaystyle M}$, il linguaggio riconosciuto da ${\displaystyle M}$ per pila vuota è diverso dal linguaggio riconosciuto da ${\displaystyle M}$ per stato finale. È importante notare, tuttavia, che la classe dei linguaggi riconosciuti dagli automi a pila non cambia sia che si scelga l'accettazione per pila vuota che per stato finale. Vale, cioè che ${\displaystyle L}$ è un linguaggio accettato per pila vuota da un automa a pila ${\displaystyle M_{1}}$ se e solo se ${\displaystyle L}$ è un linguaggio accettato per stato finale da un automa a pila ${\displaystyle M_{2}}$. In particolare, la classe dei linguaggi accettati dagli automi a pila coincide con quella dei linguaggi liberi da contesto.

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