Anello semplice

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In algebra astratta un anello semplice è un anello che ha come unici ideali bilateri l'ideale nullo e se stesso. Il termine semplice indica che l'anello non è scomponibile in anelli più semplici, in quanto non possiede alcun anello quoziente, salvo quelli banali.

Anelli semplici e ideali massimali

Gli ideali massimali sono in stretto rapporto con gli anelli semplici, infatti dato A {\displaystyle A} anello:

I m a s s i m a l e ⇔ A / I s e m p l i c e {\displaystyle I\,\mathrm {massimale} \Leftrightarrow A/I\,\mathrm {semplice} }

Inoltre se A {\displaystyle A} anello commutativo unitario abbiamo che il quoziente A / I {\displaystyle A/I} oltre a essere semplice è anche un campo; questo non è più vero in un anello senza unità, ad esempio l'ideale 4 Z {\displaystyle 4\mathbb {Z} } è massimale in 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } , ma 2 Z / 4 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} } non è un campo nonostante sia un anello semplice.

Il teorema di Artin-Wedderburn fornisce una caratterizzazione degli anelli semplici artiniani.

Esempi

  • L'algebra di Weyl è un anello semplice;
  • gli anelli di matrici su corpi sono semplici;

Voci correlate

  • Ideale massimale
  • Ideale nullo

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Anello semplice, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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