Konstruksi bilangan real

Dalam matematika, ada beberapa cara mendefinisikan bilangan real, salah satunya adalah membentuknya menjadi suatu medan terurut lengkap yang tidak mengandung setiap medan terurut lengkap yang lebih kecil. Terdapat suatu definisi yang tidak membuktikan bahwa suatu medan terurut lengkap itu ada, dan keberadaan akan bukti tersebut melibatkan konstruksi struktur matematika yang memenuhi definisi.

Definisi aksiomatik

Bilangan real didefinisikan secara aksiomatik sebagai unsur-unsur medan terurut lengkap. Definisi yang lebih presisinya adalah sebagai berikut: Model bilangan real terdiri dari himpunan ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dua unsur 0 dan 1 dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dua operasi biner ${\displaystyle +}$ (penambahan) dan ${\displaystyle \cdot }$ (perkalian) di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dan relasi biner ${\displaystyle \leq }$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Model tersebut memenuhi sifat-sifat berikut.

1. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ membentuk suatu medan. Dengan kata lain,
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, berlaku asosiatif penambahan dan perkalian ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$ dan ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$.
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, berlaku komutatif penambahan dan perkalian ${\displaystyle x+y=y+x}$ dan ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$.
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, berlaku distributif penambahan dan perkalian ${\displaystyle x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)}$.
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, berlaku identitas penambahan ${\displaystyle x+0=x}$ dan identitas perkalian ${\displaystyle x\cdot 1=x}$.
   • Untuk setiap ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, terdapat unsur ${\displaystyle -x}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, sehingga ${\displaystyle x+(-x)=0}$.
   • Untuk setiap ${\displaystyle x\neq 0}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, terdapat unsur ${\displaystyle x^{-1}={\tfrac {1}{x}}}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, sehingga ${\displaystyle x\cdot {\tfrac {1}{x}}=1}$.
2. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ membentuk suatu himpunan terurut total. Dengan kata lain,
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\leq x}$. (refleksivitas)
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, jika ${\displaystyle x\leq y}$ dan ${\displaystyle y\leq x}$, maka ${\displaystyle x=y}$. (antisimetri)
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, jika ${\displaystyle x\leq y}$ dan ${\displaystyle y\leq z}$, maka ${\displaystyle x\leq z}$. (transitif)
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\leq y}$ atau ${\displaystyle y\leq x}$. (totalitas)
3. Operasi ${\displaystyle +}$ dan ${\displaystyle \cdot }$ di medan ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dikatakan kompatible (compatible) dengan urutan ${\displaystyle \leq }$. Dengan kata lain,
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, jika ${\displaystyle x\leq y}$, maka ${\displaystyle x+z\leq y+z}$.
   • Untuk semua ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, dan ${\displaystyle z}$ di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, jika ${\displaystyle 0\leq x}$ dan ${\displaystyle 0\leq y}$, maka ${\displaystyle 0\leq x\cdot y}$.
4. Urutan ${\displaystyle \leq }$ dikatakan lengkap dalam artian berikut: setiap subhimpunan tak kosong dari batas atas ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mempunyai batas atas terkecil. Dengan kata lain, jika ${\displaystyle A}$ mempunyai batas atas, maka ${\displaystyle A}$ setidaknya mempunyai batas atas ${\displaystyle u}$, sehingga untuk setiap batas atas ${\displaystyle v}$ dari ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle u\leq v}$.

Aksiomatisasi bilangan real Tarski

Terdapat aksiomatisasi bilangan real dan aritmetikanya lain yang dibuat dan dihimpun oleh Alfred Tarski. Aksiomatisasi ini terdiri dari delapan aksioma terdiri dari empat gagasan primitif.