Trapézszabály
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Trapezoidal_rule_illustration.png/220px-Trapezoidal_rule_illustration.png)
A matematikában a trapézszabály közelítő eljárás határozott integrálok meghatározására, melynek során egy függvénygörbe meghatározott intervallumba eső görbe alatti területét egy, a görbe által meghatározott trapéz területével helyettesíti. Infinitezimális változata, melynek során az intervallum felosztása minden határon túl finomodik, egy konkrét (nem közelítő) algoritmust jelent a határozott integrálok meghatározására.
Húrtrapézformula
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Sehnentrapezformel.svg/250px-Sehnentrapezformel.svg.png)
Itt a két végpontot összekötő húr alatti trapézzal helyettesítjük a görbe alatti területet:
Ha második deriváltja folytonos -n, akkor
Összetett húrtrapézformula
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Composite_trapezoidal_rule_illustration.png/220px-Composite_trapezoidal_rule_illustration.png)
Hogy a közelítést pontosabbá tegyük, az integrálási tartományt kisebb, diszjunkt részintervallumokra bontjuk;
Legyen f értéke helyeken rendre , ekkor az integrál a következőképpen közelíthető:
speciálisan, ha a részintervallumok egyenlő hosszúak:
Érintőtrapézformula
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Tangententrapezformel.svg/250px-Tangententrapezformel.svg.png)
Az érintőtrapézformula azzal a trapézzal közelíti a területet, melynek az egyetlen tengelyekkel nem feltétlen párhuzamos oldala tartalmazza az függvény gráfjának intervallum felezőpontjához tartozó pontját. Így:
- ,
ahol, ha második deriváltja folytonos -n, akkor
Algoritmus
A függvény, amit integrálni szeretnénk: , a intervallumon, 10-es felosztással.
import math def Fx(x): return math.exp(x) def TrapezIntegralas(a,b,n): h=(b-a)/n x=a s=0.0 for i in range(1,n,1): x=x+h s=s+Fx(x) return h*(s+(Fx(a)+Fx(b))/2) print 'Trapezintegral:', TrapezIntegralas(0.0,5.0,10)
Az algoritmus a 150.4715 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131
Kapcsolódó szócikkek
- Darboux-integrál
- Simpson-módszer
- Romberg-módszer
- Newton–Cotes-formula
Jegyzetek
Források
- Trapezium Rule
- Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0.
- Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245
Külső hivatkozások
- Trapezoidal Rule for Numerical Integration
- Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature Archiválva 2021. február 9-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Trapezoidal Rule of Integration – Notes, PPT, Videos, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple, Multiple Choice Tests at Holistic Numerical Methods Institute
- C Language Implementation of Trapezoidal Rule