Szeparábilis differenciálegyenlet

A matematikai analízisben szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek olyan közönséges elsőrendű differenciálegyenletet nevezünk, mely előáll

${\displaystyle y'=f(x)\!\cdot \!g(y)\,}$

szorzat alakban, ahol f és g két, intervallumon értelmezett függvény, y pedig – a keresett függvény – olyan differenciálható függvény, mely az f értelmezési tartományából a g értelmezési tartományába képez és y értelmezési tartományának minden x pontjára teljesül az ${\displaystyle {\mbox{ }}_{y'(x)=f(x)\cdot g(y(x))\,}}$ egyenlőség.

A változói szeparálásával oldható meg sok parciális differenciálegyenlet is. Ekkor szeparábilis megoldásnak nevezzük az olyan megoldást, mely előáll

z(x₁,x₂,…,x_n) = f₁(x₁)+ f₂(x₂)+ … +f_n(x_n) vagy

z(x₁,x₂,…,x_n) = f₁(x₁)${\displaystyle \cdot }$f₂(x₂)${\displaystyle \cdot }$ … ${\displaystyle \cdot }$f_n(x_n)

alakban.

Formális megoldás

Tegyük fel, hogy az

${\displaystyle y'=f(x)\!\cdot \!g(y)\,}$

szeparábilis differenciálegyenlet esetén f és g folytonos és g sehol sem nulla. Ekkor a megoldás formális lépései a következők:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle f(x)\!\cdot \!g(y)\,}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{g(y)}}}$	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle f(x)\,\mathrm {d} x\,}$
${\displaystyle \textstyle \int {\cfrac {1}{g(y)}}\,\mathrm {d} y}$	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle \textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x\,}$
${\displaystyle H(y)\,}$	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle F(x)+C\,}$	implicit általános megoldás
${\displaystyle y(x)\,}$	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle H^{-1}(F(x)+C)\,}$	explicit általános megoldás

ahol C olyan tetszőleges konstans, mellyel a H^-1${\displaystyle \circ }$(F+C) függvénykompozíció nem elfajuló (vagyis az értelmezési tartományának van belső pontja).

Gyakran a H függvénynek (az 1/g primitív függvényének) olyan az alakja, hogy nem lehet felírni elemi függvények segítségével az inverzét. Ekkor vagy meghagyjuk implicit alakban a megoldást, vagy az inverzfüggvény-tételre hivatkozva lokális megoldásra utalunk.

Ha adott y₀ = y(x₀) kezdeti feltételt kielégítő megoldást keresünk, akkor a H(y₀) = F(x₀)+C egyenletből kell kifejeznünk C-t és megkapjuk az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást.

Egzisztencia-unicitás tétel

Tétel – Ha f : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ R és g : ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények és g sehol sem nulla, továbbá y₀ ∈ int ${\displaystyle J}$ és x₀ ∈ int ${\displaystyle I}$ akkor az

${\displaystyle y'=f(x)\!\cdot \!g(y)\,\quad \quad [y_{0}=y(x_{0})]\,}$

kezdetiérték feladatnak van (nyílt intervallumon értelmezett differenciálható) megoldása és van olyan x₀ körüli K ⊆ ${\displaystyle I}$ nyílt intervallum, ahol bármely két megoldás egyenlő.

Bizonyítás. (Egzisztencia) Az 1/g függvény ${\displaystyle J}$-n értelmezett folytonos függvény, így létezik integrálfüggvénye. Legyen az y₀-ban eltűnő integrálfüggvénye H. 1/g nem nulla, így az integrálszámítás első alaptétele és a globális inverzfüggvény tétel értelmében H invertálható és inverze diffeomorfizmus. Az y₀ pont belső pontja ${\displaystyle J}$-nek, így létezik olyan V ⊆ ${\displaystyle J}$ nyílt környezete. H ezt a 0 ∈ U nyílt halmazba képezi és H(y₀)=0. De ha F az f függvény x₀-ban eltűnő integrálfüggvénye, akkor F(x₀) = 0 ∈ U, így F folytonossága miatt létezik x₀-nak mint ${\displaystyle I}$ egy belső pontjának olyan nyílt K környezete, hogy F(K) ⊆ U.

Ekkor az

${\displaystyle y:K\rightarrow J;\;x\mapsto H^{-1}(F(x))}$

jól értelmezett, differenciálható függvény, mely – a kompozíció és az inverz függvény deriválására vonatkozó szabály értelmében – kielégíti a kezdetiérték feladatot.
(Unicitás) A formális megoldást végigkövetve látható, hogy az előbbi K intervallumon minden y megoldás a

H^-1${\displaystyle \circ }$F

függvénnyel egyenlő.

Gyenge megoldások

Azt mondjuk, hogy az y ' = f(x)g(y) [y₀ = y(x₀)] kezdeti érték feladatnak y gyenge megoldása, ha y olyan intervallumon értelmezett folytonos függvény, mely megoldása a

${\displaystyle y_{0}+\int \limits _{x_{0}}f\cdot (g\circ y)=y}$

integrálegyenletnek.

Állítás – Ha f : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ R és g : ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ R integrálható függvények, rendre folytonosak x₀ ∈ int ${\displaystyle I}$-ban és y₀ ∈ int ${\displaystyle J}$-ben és ott nem nulla értékűek, akkor az y ' = f(x)g(y) [y₀ = y(x₀)] kezdeti érték feladatnak létezik gyenge megoldása.

Bizonyítás. Létezik olyan L zárt intervallum, hogy y₀ ∈ L ⊆ int ${\displaystyle I}$ és ebben 1/g mindenütt értelmezett továbbá

${\displaystyle H:=\int \limits _{y_{0}}{\frac {1}{g|_{L}}}}$

invertálható, sőt inverzével együtt Lipschitz-függvény. Ugyanez igaz egy x₀ körüli zárt V környezetre, az

${\displaystyle F:=\int \limits _{x_{0}}f|_{V}}$

függvény esetén. Ekkor

${\displaystyle H^{-1}\circ F}$

megfelel az y kívánt tulajdonságainak.

Szoftver

Xcas:^[1] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Jegyzetek