Szög

Ez a szócikk a geometriai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Szög (egyértelműsítő lap).

A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, melyek forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

A szög mint mennyiség. A síkszög arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya. A térszögtől való megkülönböztetés miatt a síkbeli szöget síkszögnek is nevezzük. A síkszög mint mennyiség definiálható forgásszögként is, így lehet előjeles is, vagy a teljesszögnél nagyobb.

Definíciók

Alapvetően a szögnek kétféle definíció létezik: az előjel nélküli és az előjeles. A nem irányított szög előjel nélküli, az irányított előjeles. A bevezetésben említett definíció használatos például a koordináta-rendszerek és a koordináta-rendszer tengelyei esetén. A szög félegyenespárként való meghatározás esetén a félegyenesek egy közös pontból indulnak:

Ha ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ egyenesek, amelyek az ${\displaystyle S}$ pontban metszik egymást, akkor az ${\displaystyle S}$ pont az ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ egyeneseket félegyenesekre osztja. Ekkor ezek a félegyenesek az ${\displaystyle S}$ ponttal együtt szöget alkotnak. Az ${\displaystyle S}$ pont a szög csúcsa, az ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ egyenesek ${\displaystyle S}$ pontból induló félegyenesei a szög szárai.

A szög, pontosabban a szögtartomány a síknak az a része, melyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Ezek a szögtartomány határa, míg a szögtartomány többi része a szög belseje.

Az iskolai tanítás során ezt a változatot használják, ezzel kiemelik azt, hogy a szögnek területe van. A belső, illetve a külső tér elhatárolásával a háromszög-geometria bevezetését szolgálja. A háromszög definiálható három szögtartomány metszeteként.

Az eddigi definíciók előjel nélküli szöget definiáltak. A következőkben előjeles szögeket is definiálunk.

Az is mondható, hogy a szög egy félegyenes végpontja körüli forgatásával keletkezik. Megkülönböztetésként ezt a szöget forgásszögnek is nevezik. A forgás irányára két lehetőség van:

• Balra forgatáskor az óramutató járásával ellentétes irányba forog
• Jobbra forgatáskor az óramutató járásával megegyező irányba forog

Az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint, a teljesszög. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több, mint egy kör elforgatás). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős. A matematikában az óramutatóval ellentétes irány számít pozitívnak. Ha csak másként nem jelzik, akkor a forgatást ebbe az irányba végzik.

A geodéziában nem használnak előjelet, és a forgatás iránya mindig az óramutató járása szerinti. Az óra analógjára a szögeket 0-tól 24 h-ig, vagy 0 gontól 400 gonig mérik. Minden geodéziai műszert óramutató járása szerinti irányba forgatnak.

A szögek felosztása

• Nullszög: 0°.
• Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög.
• Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián.
• Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú.
• Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög.
• Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián.
• Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek.
• Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög).
• Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.

Jelölések

Az ISO 80000-2 szerint a szögeket a következőképpen adjuk meg:

• A szöget görög kisbetűkkel jelöljük, mint ${\displaystyle \alpha }$ vagy ${\displaystyle \beta }$.
• Az ${\displaystyle \angle fg}$ szöget két félegyenes, egyenes vagy él zárja közre. Irányát az ${\displaystyle f}$ irányából a ${\displaystyle g}$ irányába számítjuk.
• Három ponttal megadott szög esetén mindig a középső pont a szög csúcsa. Jelölése ABC szög, ${\displaystyle \angle ABC}$ vagy ${\displaystyle {\widehat {ABC}}}$. Ez a szög az ${\displaystyle [BA]}$ és ${\displaystyle [BC]}$ félegyenesek közé zárt szögek közül az, ami ${\displaystyle [BA]}$ ${\displaystyle [BC]}$-re való matematikailag pozitív irányú forgatásával keletkezik.
• Az angol nyelvű szakirodalomban szokásos még a ${\displaystyle \angle B}$ illetve ${\displaystyle {\hat {B}}}$ jelölés.

A nem irányított szög jelölése »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220). Irányított szög jelölésére használható még  »∡« (HTML ∡/∡, TeX \measuredangle, U+2221). Mindkét jel megtalálható a Unicode-kódtáblában. A fekvő szög jelölés angol-amerikai; az Európában használt jel összetéveszthető az angol-amerikai »∢« U+2222 térszöget jelölő jellel. A szög és a meredekség jelölésére használható  »∠« is.

Speciálisan, a derékszöget jelölik úgy is, mint:

• »∟«, derékszög alakban felrajzolva
• »⦝«, szög ívvel és ponttal
• »⊾«, szög ívvel
• »⦜«, szög négyzettel
• ${\displaystyle \perp }$, ortogonális

Szögpárok

• Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot. Egymást egyenesszöggé egészítik ki.
• Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög.
• Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög.
• Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek:
•     1) egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak)
•     2) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)
•          (speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak
•    3) társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei)
• Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)

További elnevezések

• Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög.
• Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.

A szögek mérése

A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}(k)}$

amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.

A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.

• A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése:  ′ . Az ívperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése:  ″  A θ szög fokban való meghatározásához:

${\displaystyle (k)={\frac {180}{\pi }}}$

• Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzá tartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: [1] A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben.
• Léteznek más egységek is. Ezekről a Mértékegységek átszámítása#Szög tartalmaz adatokat.

Szögmérték	Mértékegység	1 teljesszög =	Mértékegység jele
–	Teljesszög	1
Ívmérték	Radián	2π	rad
Fok	Fok (perc, másodperc)	360	° ( ′ ″ )
Geodéziai szögmérték	Gradián (újfok)	400	gon (grad)
Időmérték	Óra, perc, másodperc	24	h m s
–	Tengerészeti vonás	32	¯
–	Tüzérzeti vonás	6400	mil ( A‰ )
–	Százalék	nem lineáris	%, ‰

Síkszögek a térben

A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.

• A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög.
• Egy sík és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög.
• Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok.
• Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel.
• Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög.
• Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.

Térszögek

Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Térszög található poliéderek csúcsánál. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r² területet metsz ki. A teljes gömbhöz tartozó térszög mértéke

${\displaystyle \Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr} }$

• 
  Kanonikus térszög
• 
  Egy gúla térszöge

Szögek különböző geometriákban

Többnyire euklideszi geometriáról lévén szó, a szögeket is euklideszinek tekintjük. Azonban más geometriákban is vannak szögek.

A háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat egyenlőségek és egyenlőtlenségek írják le. A különböző geometriákban ezek az összefüggések különböznek. Euklideszi geometriában ismert összefüggés, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Emellett a szinusztétel és a koszinusztétel pontos egyenlőséget is megad. A háromszögeket szögeik csak hasonlóság erejéig határozzák meg. A háromszögek szögeinek összege egyenesszög.

Gömbi geometriában a gömbi szinusztétel és a gömbi koszinusztétel érvényesül, illetve vannak még más tételek is. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél nagyobb.

Hiperbolikus geometriában a hiperbolikus szinusztétel és a hiperbolikus koszinusztétel ad összefüggést. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél kisebb.

• 
  Gömbháromszög szögei
• 
  Háromszög szögei hiperbolikus geometriában

Szögek számítása

Derékszögű háromszög

Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög adott, akkor a másik egyértelműen meghatározott, mivel a szögek összege 180 fok, és ebben a derékszög kitesz 90 fokot, azért ha a hegyesszögek ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$, akkor ${\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}$.

Ha ismertek az ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ és ${\displaystyle c}$ oldalhosszak, akkor a hegyesszögek kiszámolhatók szögfüggvényekkel és árkuszfüggvényekkel. Ha a hegyesszögek ${\displaystyle \alpha }$ és ${\displaystyle \beta }$, akkor teljesül, hogy

${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{b}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{a}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{a}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{b}}\right)}$

Általános háromszög

Ha egy háromszög szögei ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ és ${\displaystyle \gamma }$, akkor ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$. Ezért két szög meghatározza a harmadikat.

Ha ismert két oldal hossza és az egyikkel szemközti szög, akkor a másik oldallal szemközti szög szinusztétellel számítható. Teljesül például, hogy ${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a\cdot \sin \beta }{b}}}$. Az árkusz szinusz függvénnyel ${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {a\cdot \sin \beta }{b}}\right)}$.

Mindhárom oldal ismeretében a koszinusztétellel kiszámíthatók a szögek. Teljesül például, hogy ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}}$. Az árkusz koszinusz függvénnyel ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}}$.

Ha derékszögű koordináta-rendszerben a háromszög csúcsaival van megadva, akkor a belső szögek két vektor közötti szögként számíthatók. Legyenek a csúcsok ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$! Ekkor ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {AB}}}$ és ${\displaystyle {\vec {c}}={\overrightarrow {AC}}}$ az ${\displaystyle A}$ pontból kiinduló vektorok, így ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}{|{\vec {b}}||{\vec {c}}|}}}$. Itt ${\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$ skaláris szorzat és ${\displaystyle |{\vec {b}}||{\vec {c}}|}$ a vektorok hossza.

Tetraéder szögei

A tetraéderben előforduló szögek:

• a lapokon, mint háromszögeken levő szögek
• a lapok lapszögei
• a csúcsoknál levő térszögek

Egyenesek hajlásszöge

Ha egy egyenes egyenlete egy sík derékszögű koordináta-rendszerében ${\displaystyle ax+by=c}$, akkor hajlásszögét az ${\displaystyle x}$ tengelyhez ${\displaystyle \alpha }$-val jelölve:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}}}$.

Ez következik a tangens definíciójából. Az árkusz tangens használatával

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}}$.

Ha a tangens nem létezik, akkor ${\displaystyle b=0}$, ami azt jelenti, hogy az egyenes párhuzamos az ${\displaystyle x}$ tengellyel, így hajlásszöge az ${\displaystyle x}$ tengelyhez 0.

Két egyenes metszésszöge

Legyenek ${\displaystyle g_{1}=\{\mathbf {p_{1}} +\lambda \mathbf {r_{1}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}}$ és ${\displaystyle g_{2}=\{\mathbf {p_{2}} +\lambda \mathbf {r_{2}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}}$ egyenesek egy sík derékszögű koordináta-rendszerében a ${\displaystyle \mathbf {p_{1}} }$ és ${\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$ pontokkal és ${\displaystyle \mathbf {r_{1}} }$ és ${\displaystyle \mathbf {r_{2}} }$ lineárisan független irányvektorokkal. Ha szögük ${\displaystyle \theta }$, akkor

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} ||\mathbf {r_{2}} |}}}$.

Az egyenesek merőlegesek, ha metszésszögük derékszög, tehát ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$. Ez ekvivalens azzal, hogy irányvektoraik skalárszorzata 0. Ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle \mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} =0}$.^[1]

Ha a két egyenes ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}$ és ${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$ alakban van megadva, és egymással bezárt szögük ${\displaystyle \theta }$, akkor az általuk közrezárt szög az ${\displaystyle x}$ tengellyel bezárt hajlásszögekből számítható:

${\displaystyle \theta =\alpha _{1}-\alpha _{2}}$.

Alkalmazva az addíciós tételt a tangensre:

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta =\operatorname {tg} (\alpha _{1}-\alpha _{2})={\frac {\operatorname {tg} \alpha _{1}-\operatorname {tg} \alpha _{2}}{1+\operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}}}}$.

Mivel ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{1}={\tfrac {a_{1}}{b_{1}}}}$ és ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{2}={\tfrac {a_{2}}{b_{2}}}}$, azért következik, hogy:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} \alpha _{1}-\operatorname {tg} \alpha _{2}}{1+\operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}}}={\frac {{\frac {a_{1}}{b_{1}}}-{\frac {a_{2}}{b_{2}}}}{1+{\frac {a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}}}}={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}}$.

Egybevetve

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}}$.

Alkalmazva az árkusz tangenst kapjuk, hogy

${\displaystyle \theta =\operatorname {arctg} {\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}}$.

Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha ${\displaystyle a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0}$. Ekkor az egyenletek nincsenek definiálva.^[2]

Egyenes és sík metszésszöge

Legyen ${\displaystyle \alpha }$ az ${\displaystyle {\vec {x}}}$ irányvektorú egyenes és az ${\displaystyle {\vec {n}}}$ normálvektorú sík metszésszöge. Ekkor

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}|}{|{\vec {n}}||{\vec {x}}|}}}$

Két sík metszésszöge

Legyen ${\displaystyle {\vec {n}}}$ és ${\displaystyle {\vec {m}}}$ a két sík normálvektora! Ekkor a két sík metszésszöge

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {m}}|}{|{\vec {n}}||{\vec {m}}|}}}$.

Nevezetes szögek szerkesztése

Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.

Műveletek szögekkel

Szögek összeadása, kivonása

Összeadáskor úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk az első szögbe, amit meghosszabbítunk úgy, hogy a másik szög is odaférjen. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük az első szög melletti meghosszabbított körívre. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz.

Kivonáskor hasonlóan járunk el. Úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk a nagyobb szögbe. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük a nagyobb szögtartományban befelé. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz. Így kapjuk a szögek különbségét.

Szögek felosztása

Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd a kapott metszéspontokból ugyanakkora környílással köríveket húzunk úgy, hogy messék egymást. A szög csúcsát összekötjük a metszésponttal. Így elfeleztük a szöget.

Szögharmadolás euklideszi szerkesztéssel nem lehetséges, azonban közelítő szerkesztések lehetségesek. Továbbá vannak más eszközök is, például a Tomahawk rajzeszköz, melyek lehetővé teszik a szögharmadolást.

Tetszőleges arányú osztáshoz olyan segédeszköz kell, amivel szögek és szakaszok egymással arányosan egymásra képezhetők. Ilyen például egy arkhimédészi spirál vagy Hippiász-féle kvadratiksz. Így a szakaszok és a szögek felosztása kölcsönösen átvihetők egymásba. Ezek az eszközök használhatók olyan sokszögek megrajzolásához, melyek nem szerkeszthetők körzővel és vonalzóal.

A 60 fokos, és a belőle kapható szögek

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján át

Legyen az egyenes ${\displaystyle g_{1}}$, és a pont ${\displaystyle P}$!

• A ${\displaystyle P}$ pont körül kört húzunk, melynek metszéspontjait ${\displaystyle g_{1}}$-gyel jelölje ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$.
• Ugyanezzel a sugárral kört vonunk az ${\displaystyle A}$ vagy a ${\displaystyle B}$ pont köré. Az első körrel vett egyik metszéspontot jelölje ${\displaystyle C}$.
• A ${\displaystyle PC}$ egyenes áthalad a ${\displaystyle P}$ ponton, és 60 fokos szöget zár be a ${\displaystyle g_{1}}$ egyenessel.

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át

Legyen ismét az egyenes ${\displaystyle g_{1}}$, és a pont ${\displaystyle P}$!

• Merőlegest bocsátunk a ${\displaystyle P}$ pontból ${\displaystyle g_{1}}$-re. Innen kapjuk az ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ kör-egyenes szimmetrikus metszéspontokat, a ${\displaystyle P}$-vel átellenes ${\displaystyle C}$ pontot. A talppontot a továbbiakban ${\displaystyle M}$ jelöli.
• Kört húzunk ${\displaystyle M}$ körül úgy, hogy átmenjen a ${\displaystyle P}$ ponton. Ez a kör a továbbiakban ${\displaystyle k_{1}}$.
• Ugyanekkora sugárral ${\displaystyle C}$ körül is kört húzunk, ez a ${\displaystyle k_{2}}$ kör. A két kör metszéspontjai ${\displaystyle D}$ és ${\displaystyle E}$, melyek össztekötő egyenese a ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ szakasz felezőmerőlegese.
• A ${\displaystyle PDE}$ háromszög egyenlő oldalú, melynek ${\displaystyle P}$-n átmenő oldalai ${\displaystyle g_{1}}$-et 60 fokban metszik.

Egy alternatív szerkesztésmód:

• Húzunk egy kört a ${\displaystyle P}$ pont körül úgy, hogy messe a ${\displaystyle g_{1}}$ egyenest. Az egyik metszéspontot megjelöljük, ez lesz az ${\displaystyle A}$ pont.
• Ugyanezzel a sugárral kört húzunk az ${\displaystyle A}$ pont körül, ennek egyik metszéspontja a ${\displaystyle B}$ pont.
• ${\displaystyle B}$ körül kört húzunk ugyanezzel a sugárral, ami a ${\displaystyle P}$ körüli kört a ${\displaystyle C}$ pontban metszi.
• A ${\displaystyle C}$ pont körül kört húzunk, ennek metszéspontja a ${\displaystyle P}$ pont körüli körrel a ${\displaystyle D}$ pont.
• A ${\displaystyle PD}$ egyenes 60 fokban metszi a ${\displaystyle g_{1}}$ egyenest.

A 60 fokos szög szerkesztése

• Meghúzunk egy egyenes szakaszt
• Kijelölünk rajta egy O pontot
• Húzunk O-ból egy körívet, ami metszi az egyenes szakaszt; a metszéspont legyen A
• A körző szögnyílását változatlanul hagyva húzunk A-ból egy körívet, hogy messe az O középpontú körívet. Legyen ez a metszéspont B
• Az AOB hegyesszög 60 fokos lesz.

A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.

Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.

A 90 fokos szög (derékszög) szerkesztése

Derékszög szerkesztésekor egy előre megadott, vagy felvett szakasz felezőmerőlegesét szerkesztjük meg.

Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjában

Nevezzük az egyenest ${\displaystyle g}$-nek, és az adott pontot ${\displaystyle P}$-nek!

• Húzunk egy tetszőleges sugarú kört ${\displaystyle P}$ középponttal. A kört ${\displaystyle g}$ két pontban metszi.
• Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
• Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott szakasz a ${\displaystyle g}$ egyenest a ${\displaystyle P}$ pontban merőlegesen metszi.

Merőleges állítása egyenesre külső pontból

Legyen ismét ${\displaystyle g}$ az egyenes, és az adott pont ${\displaystyle P}$!

• Húzunk egy kört ${\displaystyle P}$ középponttal és akkora távolsággal, ami nagyobb, mint a pont és az egyenes távolsága. A kört ${\displaystyle g}$ két pontban metszi.
• Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
• Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott egyenes merőlegesen metszi a ${\displaystyle g}$ egyenest, és átmegy a ${\displaystyle P}$ ponton.

Merőleges állítása adott metszéspont nélkül

Legyen az egyenes továbbra is ${\displaystyle g}$!

• A ${\displaystyle g}$ egyenesen tetszőlegesen felvesszük a különböző ${\displaystyle M_{1}}$ és ${\displaystyle M_{2}}$ pontokat.
• Húzunk két kört egyforma sugárral ${\displaystyle M_{1}}$ és ${\displaystyle M_{2}}$ körül, hogy messék egymást. A két metszéspontot összekötve merőlegest kapunk a ${\displaystyle g}$ egyenesre.

Diszkusszió

Nem kell a teljes köröket felrajzolni. Elég csak akkora köríveket behúzni, hogy a metszéspontok megtalálhatók legyenek.

Minél messzebb vesszük fel a segédpontokat, annál pontosabb lehet a szerkesztés, hiszen annál kisebb hatása van a behúzott vonalak vastagságának. Viszont ha nagy a távolság, akkor a körök laposabb szögben metszik egymást, ami növeli a pontatlanságot.

Szakaszfelező merőleges

Hasonló szerkesztéssel lehet kijelölni szakaszfelező merőlegest: a szakasz végpontjai körül köröket húzunk egyforma sugárral, és összekötjük ezek metszéspontjait.

30 fokos szög szerkesztése

Habár 30 fokos szög megkapható a 60 fokos szög felezésével, azért 30 fokos szög egyszerűbben is szerkeszthető.

Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztése

Legyen az egyenes ${\displaystyle g_{1}}$, az adott pont ${\displaystyle P}$!

• Felveszünk egy tetszőleges ${\displaystyle A}$ pontot az egyenesen, és kört húzunk ${\displaystyle A}$ középponttal a ${\displaystyle P}$ ponton át. Adódik a ${\displaystyle B}$ metszéspont.
• Kört húzunk a ${\displaystyle B}$ pont körül ugyanezzel a sugárral, és legyen a két kör egyik metszéspontja ${\displaystyle C}$.
• A ${\displaystyle PC}$ egyenes ${\displaystyle g_{1}}$-et 30 fokban metszi.

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése

Legyen az egyenes ${\displaystyle g_{1}}$, az adott pont ${\displaystyle P}$!

• Tetszőleges sugárral kört húzunk ${\displaystyle P}$ körül, ami ${\displaystyle g_{1}}$-et az ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ pontokban metszi.
• Az ${\displaystyle A}$ pont körül ${\displaystyle AP}$ sugárral kört húzunk. Hasonlóan, ${\displaystyle B}$ körül ugyanezzel a sugárral kört húzunk. A két kör túloldali metszéspontját jelölje ${\displaystyle C}$.
• A ${\displaystyle PC}$ egyenes metszéspontja ${\displaystyle g_{1}}$-gyel ${\displaystyle D}$.
• ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ sugárral kört húzunk ${\displaystyle C}$ és ${\displaystyle D}$ körül is. Adódik az ${\displaystyle E}$ pont.
• ${\displaystyle P}$-t ${\displaystyle E}$-vel összekötve adódik az ${\displaystyle F}$ pont.
• ${\displaystyle {\overline {FP}}}$ sugárral kört húzunk ${\displaystyle F}$ körül, a ${\displaystyle g_{1}}$-gyel vett metszéspont ${\displaystyle G}$.
• ${\displaystyle {\overline {GF}}}$ sugárral kört rajzolunk a ${\displaystyle G}$ pont körül, ez a ${\displaystyle g_{1}}$ egyenest a ${\displaystyle H}$ pontban metszi.
• A ${\displaystyle HP}$ egyenes ${\displaystyle g_{1}}$-et 30 fokban metszi.

Egy alternatív szerkesztésmód a 60 fokos szög alternatív szerkesztésén alapul. Az ottani jelölésekkel az ötödik kör ${\displaystyle D}$ középpontú, ${\displaystyle P}$-n átmenő kör, a 30 fokban metsző egyenes a ${\displaystyle PE}$ egyenes.

A szabályos ötszögből kapható szögek

Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.

Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:

• Felvesszük az adott oldalhosszt A és B végpontokkal, "a" szakaszhossz.
• Megszerkesztjük AB felezőmerőlegesét
• Felmérjük a felezőmerőlegesre az "a" szakaszhosszt; az így kimetszett pont Q
• Az AQ szakasz meghosszabbítására felmérjük az "a" hossz felét; az így kimetszett pont R. Az AR szakasz hossza adja az ötszög átlójának hosszát, d-t
• Az AB felezőmerőlegesből az A-ból húzott d sugarú körív kimetszi D-t. Ezzel megkaptuk a szabályos ötszög egy oldala és egy átlója által bezárt szöget
• Az ötszög hiányzó két csúcsa a már meglevő csúcsokból húzott a sugarú körívekkel.

Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.

Általános szögszerkesztések

Szerkeszthetők a fenti szögek, 90°, 60°, 72° illetve 54°; ezek összegei, különbségei, és felezéssel (ami tetszőleges számszor megismételhető) további szögek kaphatók. Például 3° kapható a következőképpen: ${\displaystyle 72^{\circ }/2\rightarrow 36^{\circ }/2\rightarrow 18^{\circ }-15^{\circ }=3^{\circ }}$. Általában szerkeszthetők azok a szögek, melyek szinusza (koszinusza) előáll egész számokból alapműveletekkel és négyzetgyökvonásokkal. Ez teljesül például minden olyan szögre, ami a 3°-os szög egész számú többszöröse: ^[3]

• ${\displaystyle \sin(0^{\circ })=\cos(90^{\circ })=0}$
• ${\displaystyle \sin(3^{\circ })=\cos(87^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)-2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(6^{\circ })=\cos(84^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {5}}+1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(9^{\circ })=\cos(81^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)-2\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(12^{\circ })=\cos(78^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(15^{\circ })=\cos(75^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)}$
• ${\displaystyle \sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)}$
• ${\displaystyle \sin(21^{\circ })=\cos(69^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(24^{\circ })=\cos(66^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(27^{\circ })=\cos(63^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(30^{\circ })=\cos(60^{\circ })={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \sin(33^{\circ })=\cos(57^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}$
• ${\displaystyle \sin(39^{\circ })=\cos(51^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)-2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(42^{\circ })=\cos(48^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle \sin(48^{\circ })=\cos(42^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(51^{\circ })=\cos(39^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)}$
• ${\displaystyle \sin(57^{\circ })=\cos(33^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {3}}}$
• ${\displaystyle \sin(63^{\circ })=\cos(27^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(66^{\circ })=\cos(24^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5}}+1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(69^{\circ })=\cos(21^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}$
• ${\displaystyle \sin(75^{\circ })=\cos(15^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)}$
• ${\displaystyle \sin(78^{\circ })=\cos(12^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(81^{\circ })=\cos(9^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(84^{\circ })=\cos(6^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)\right)}$
• ${\displaystyle \sin(87^{\circ })=\cos(3^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin(90^{\circ })=\cos(0^{\circ })=1}$

A szögfelezés kifejezhető a felezési tételekkel:

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}$ és ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}$

Az összeadások, kivonások követhetők az addíciós tételekkel:

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \;\cos \beta \pm \cos \alpha \;\sin \beta }$ und ${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \;\cos \beta \mp \sin \alpha \;\sin \beta }$

Kiszámítható, hogy a 17-szög középponti szögének koszinusza:

${\displaystyle \cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)\ \approx 0{,}93247222940435580457}$,

ami szerkeszthetőségét igazolja.

Tételek a szögekről

• Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között: a háromszögben a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög
• Kerületi és középponti szögek tétele: a középponti szög a hozzá tartozó kerületi szög kétszerese

• Speciális eset: Thalész-tétel: egy kör átmérőjéből a kör pontjai derékszögben látszanak

• Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről: a két befogó négyzetösszege az átfogó négyzete
• Befogótétel és magasságtétel

Trigonometria

A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.

A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

A szögfüggvények segítségével pontosíthatók az összefüggések a háromszögek oldalai és szögei között:

• Szinusztétel: egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. ${\displaystyle a\,:\,b\,:\,c\;=\;\sin \,\alpha \;:\;\sin \,\beta \;:\;\sin \,\gamma }$ A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés pontos alakja
• Koszinusztétel: :${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$ A Pitagorasz-tétel általánosítása

Kapcsolódó szócikkek

• Szögmértékek

Jegyzetek

Források

• Matematikai kisenciklopédia, Gondolat Kiadó, Budapest, 1968
• Bokor József (szerk.). Belső szög, A Pallas nagy lexikona. Arcanum: FolioNET (1893–1897, 1998.). ISBN 963 85923 2 X 
• Szögek értelmezése térben
• Síkszög, lapszög, térszög
• Nevezetes szögpárok
• Szögfelezés; 60, 30 és 90 fokos szögek szerkesztése
• Szabályos ötszög szerkesztése adott oldalhosszból Archiválva 2009. december 29-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között^{[halott link]}
• Középponti és kerületi szögek tétele Archiválva 2010. április 19-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Thalész-tétel Archiválva 2011. február 28-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Befogó- és magasságtétel
• Szinusztétel
• Koszinusztétel
• José Matos: [The Historical Development of the Concept of Angle] (A szög fogalmának történeti fejlődése ). (PDF, angol nyelv). The Mathematics Educator Online, 1. évf. 1. sz. Beill. 2010. szeptember 19.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Winkel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.