Nullvektortér

A nullvektortér a matematikában egy vektortér, ami egyetlen vektort tartalmaz elemként, a nullvektort. Izomorfia erejéig az egyetlen nulla dimenziós vektortér, melynek bázisa az üres halmaz. Minden vektortér tartalmaz nullvektorteret legkisebb altereként. Vektorterek direkt összegében, illetve direkt szorzatában a nullvektortér neutrális elem. Adott test fölötti vektorterek kategóriájában a nullvektortér a nullobjektum.

Definíció

A ${\displaystyle (\{0\},+,\cdot )}$ nullvektortér egy tetszőleges ${\displaystyle K}$ test fölötti vektortér, ami az egyetlen ${\displaystyle \{0\}}$ vektorból áll. Az egyetlen lehetséges összeadás:

${\displaystyle 0+0=0}$

és az egyetlen lehetséges skalárral szorzás:

${\displaystyle \alpha \cdot 0=0}$

minden ${\displaystyle \alpha \in K}$ skalárra. Így a ${\displaystyle 0}$ vektor neutrális elem az összeadásra, és nullvektornak nevezzük.

Tulajdonságok

Vektortér-axiómák

A nullvektortér eleget tesz a vektorterek axiómáinak:

• ${\displaystyle (\{0\},+)}$ Abel-csoport, mégpedig a triviális csoport
• a skalárral szorzásra teljesül az asszociativitás, illetve a disztributivitás:
  • ${\displaystyle \alpha \cdot (\beta \cdot 0)=\alpha \cdot 0=0=(\alpha \cdot \beta )\cdot 0}$
  • ${\displaystyle \alpha \cdot (0+0)=\alpha \cdot 0=0=0+0=\alpha \cdot 0+\alpha \cdot 0}$
  • ${\displaystyle (\alpha +\beta )\cdot 0=0=0+0=\alpha \cdot 0+\beta \cdot 0}$
• az ${\displaystyle 1\in K}$ elem neutrális:
  • ${\displaystyle 1\cdot 0=0}$

Bázis és dimenzió

A nullvektortér egyetlen bázisa az üres halmaz, mivel az üres halmaz lineáris burkára teljesül, hogy:

${\displaystyle \langle \emptyset \rangle =\{0\}}$.

Így a nullvektortér dimenziója:

${\displaystyle \dim(\{0\})=|\emptyset |=0}$.

Megfordítva, bármely test fölötti nulldimenziós vektortér izomorf a nullvektortérrel.

Altérként

Ha ${\displaystyle V}$ tetszőleges vektortér a ${\displaystyle K}$ test fölött, akkor van egy egyértelműen meghatározott neutrális eleme, a ${\displaystyle 0_{V}}$. Az ${\displaystyle U=\{0_{V}\}}$ halmaz altere ${\displaystyle V}$-nek, mivel nem üres, és zárt a vektoriális összeadásra, illetve skalárral szorzásra:

• ${\displaystyle U\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle 0_{V}+0_{V}=0_{V}\in U}$
• ${\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}=0_{V}\in U}$ minden ${\displaystyle \alpha \in K}$ esetén

Ezzel a ${\displaystyle \{0_{V}\}}$ tér, mint minden egyelemű vektortér, izomorf a nullvektortérrel, és ${\displaystyle V}$ nullvektorterének nevezik. Mivel egy vektortér nem lehet üres, azért ez a legkisebb lehetséges altere egy vektortérnek. Egy ${\displaystyle V}$ vektortér két komplementer alterének, ${\displaystyle U_{1}}$-nek és ${\displaystyle U_{2}}$-nek a metszete:

${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=\{0_{V}\}}$.

Összegek és szorzatok

A nullvektortér a vektorterek direkt összegére és direkt szorzatára vonatkozóan a nullvektortér neutrális elem, vagyis minden ${\displaystyle V}$ vektortérben:

${\displaystyle \{0\}\oplus V\cong V\cong V\oplus \{0\}}$   illetve   ${\displaystyle \{0\}\pi V\cong V\cong V\pi \{0\}}$.

Ezzel szemben a tenzorszorzásban elnyelő tulajdonságú, azaz:

${\displaystyle \{0\}\otimes V\cong \{0\}\cong V\otimes \{0\}}$.

Kategóriaelmélet

Az egy adott test fölötti vektorterek kategóriájában a lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal a nullvektortér nullobjektum: minden vektortérből pontosan egy lineáris leképezés megy a nullvektortérbe, és a nullvektortérből minden vektortérbe egyetlen lineáris leképezés megy: ami mindenhez a nullvektort rendeli. Ez a nullfüggvény, ami egyúttal a nullmorfizmus.

Forrás

• Gilbert Strang. Lineare Algebra. Berlin u. a.: Springer (2003. június 8.) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Nullvektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.