Maximális részcsoport

A csoportelméletben maximális részcsoportnak nevezzük az olyan valódi részcsoportot, amely maga nem valódi része egy másik valódi részcsoportnak. Tehát egy adott ${\displaystyle G}$ csoport ${\displaystyle M<G}$ részcsoportja akkor maximális, ha ${\displaystyle M\neq G}$, és nincs olyan ${\displaystyle H}$ részcsoport, hogy ${\displaystyle M\lneqq H\lneqq G}$.

Egzisztencia és unicitás

Nem minden csoportnak van maximális részcsoportja. Az egyelemű csoportnak például nincs valódi részcsoportja, így maximális részcsoportja sincsen. A Prüfer-csoport minden valódi részcsoportja része egy bővebb valódi részcsoportnak, így ebben a csoportban sincsen maximális részcsoport.

Ha ${\displaystyle G}$ nemtriviális véges csoport, akkor ${\displaystyle G}$-nek van maximális részcsoportja, mi több, minden valódi részcsoport része egy maximális részcsoportnak. Legyen ugyanis ${\displaystyle H<G}$ egy tetszőleges valódi részcsoport. Ha ${\displaystyle H}$ maximális, akkor az állítás teljesült. Ha nem, akkor van olyan ${\displaystyle H_{1}}$, hogy ${\displaystyle H<H_{1}<G}$. Ha ${\displaystyle H_{1}}$ maximális, akkor készen vagyunk; ha nem, akkor van olyan ${\displaystyle H_{2}}$, hogy ${\displaystyle H<H_{1}<H_{2}<G}$. Az eljárás nem folytatható a végtelenségig, hiszen ${\displaystyle G}$ maga véges.

Egy csoportnak lehet egynél több maximális részcsoportja. A Klein-csoportnak például három másodrendű részcsoportja is van; ezek mindegyike maximális. Egy csoport maximális részcsoportjainak metszetét Frattini-részcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok

Ha egy csoportnak egyetlen maximális részcsoportja van, akkor azt szükségképpen helyben hagyja minden automorfizmus, és így az ilyen részcsoport karakterisztikus (következésképpen normálosztó).

A maximális részcsoportok szükségképpen modulárisak (azaz ha ${\displaystyle A}$ maximális ${\displaystyle G}$-ben és ${\displaystyle B,C}$ olyan részcsoportjai ${\displaystyle G}$-nek, hogy ${\displaystyle A\leq C}$, akkor ${\displaystyle \langle A,B\cap C\rangle =\langle A,B\rangle \cap C}$). Ilyenkor ugyanis ${\displaystyle A\leq C}$ azt jelenti, hogy vagy ${\displaystyle A=C}$ vagy ${\displaystyle A=G}$. Az első esetben ${\displaystyle \langle A,B\cap C\rangle =A=\langle A,B\rangle \cap C}$. A második esetben ${\displaystyle \langle A,B\cap C\rangle =\langle A,B\rangle =\langle A,B\rangle \cap C}$.

Egy ${\displaystyle G}$ csoport minden maximális részcsoportja pronormális.

Források

• Vipul Naik: Maximal subgroup (angol nyelven). Groupprops. (Hozzáférés: 2014. május 19.)
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK