Gauss-egész

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Műveletek

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az ${\displaystyle i^{2}=-1}$ egyenlőséget: ${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i}$. E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$-vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste ${\displaystyle {\mathbf {Q} }(i)=\{a+bi:a,b\in {\mathbf {Q} }\}}$. A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

Norma

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}$

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Egységek, asszociáltak, prímelemek

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása ${\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}}$. Minden ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {Z} }}$-beli prímszám ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$-ben is prím. Ha viszont ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ prímszám, akkor p felbomlik, mint ${\displaystyle p=(a+bi)(a-bi)}$, ahol ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$ (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az ${\displaystyle a+bi}$, ${\displaystyle a-bi}$ Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: ${\displaystyle x\equiv y{\pmod {z}}}$ akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor ha ${\displaystyle \pi }$ prímelem, akkor a mod ${\displaystyle \pi }$ maradékosztályok száma ${\displaystyle N(\pi )}$.

Egyértelmű prímfaktorizáció

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$ euklideszi gyűrű: ha ${\displaystyle a,b\in {\mathbf {Z} }[i]}$, ${\displaystyle b\neq 0}$, akkor létezik ${\displaystyle q}$ és ${\displaystyle r}$, hogy ${\displaystyle a=bq+r}$ és ${\displaystyle N(r)<N(b)}$. Innen adódik, hogy ${\displaystyle {\mathbf {Z} }[i]}$-ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon ${\displaystyle \pi }$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ${\displaystyle \pi =xy}$ esetén x vagy y asszociáltja ${\displaystyle \pi }$-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon ${\displaystyle \pi }$ nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ${\displaystyle \pi \mid xy}$ esetén ${\displaystyle \pi \mid x}$ vagy ${\displaystyle \pi \mid y}$ teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható ${\displaystyle x=\pi _{1}\cdots \pi _{r}}$ alakban, ahol ${\displaystyle \pi _{1},\dots ,\pi _{r}}$ prímelemek, továbbá, ha ${\displaystyle x=\rho _{1}\cdots \rho _{s}}$ egy másik felírás, akkor ${\displaystyle s=r}$ és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re ${\displaystyle \rho _{j}}$ asszociáltja ${\displaystyle \pi _{j}}$-nek.

Kapcsolódó szócikkek

• algebrai számelmélet
• Eisenstein-egész