Bernoulli-eloszlás

A valószínűségszámításban és a statisztika területén a Bernoulli-eloszlás egy diszkrét valószínűség-eloszlás.[1]

Ezt az eloszlást Jakob Bernoulli (1654-1705) svájci matematikusról nevezték el.

Egy Bernoulli-kísérlet kimenetele kétféle lehet, ennek megfelelően a Bernoulli-eloszlás két értéket vehet fel: ha a p valószínűségű esemény bekövetkezik, akkor 1 értékét vesz fel, ha nem következik be, akkor 0 értéket vesz fel.

Így ha X valószínűségi változó ezt az eloszlást követi, akkor:

Pr ( X = 1 ) = p  és  Pr ( X = 0 ) = 1 − p = q . {\displaystyle \Pr(X=1)=p{\text{ és }}\Pr(X=0)=1-p=q.\!}

A Bernoulli-eloszlás klasszikus példája, ha feldobunk egy pénzérmét. Az érme p valószínűséggel esik le fejre, és 1-p valószínűséggel írásra.

A kísérlet akkor korrekt, ha p=0,5.

A valószínűség tömegfüggvénye:

f ( k ; p ) = { p ha  k = 1 , 1 − p ha  k = 0. {\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{ha }}k=1,\\[6pt]1-p&{\text{ha }}k=0.\end{cases}}}

Ezt a következőképpen is kifejezhetjük:

f ( k ; p ) = p k ( 1 − p ) 1 − k ha  k ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\!\quad {\text{ha }}k\in \{0,1\}.}

A Bernoulli valószínűségi változó X várható értéke E ( X ) = p {\displaystyle E\left(X\right)=p} , szórásnégyzete:

var ( X ) = p ( 1 − p ) . {\displaystyle {\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}

A Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás speciális esete.[2]

Az eloszlás lapultsága, a p alacsony, és magas értékeinél végtelenhez tart, de p=1/2 esetben, a Bernoulli eloszlás lapultsága alacsonyabb bármely más valószínűség eloszlásnál (-2). A Bernoulli-eloszlás az úgynevezett exponenciális családba tartozik.

A p maximális valószínűségi becslése az átlagos minta véletlenszerű mintáján alapul.

Kapcsolódó eloszlások

  • Ha X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} független, Bernoulli-eloszlású valószínűségi változók p valószínűséggel, akkor

Y = ∑ k = 1 n X k ∼ B i n o m i a l ( n , p ) {\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {Binomial} (n,p)} (binomiális eloszlás (n,p) paraméterekkel). A Bernoulli-eloszlás a binomiális eloszlás speciális esete: B i n o m i a l ( 1 , p ) {\displaystyle \mathrm {Binomial} (1,p)} .

  • A kategorikus eloszlás a Bernoulli-eloszlás általánosítása diszkrét értékű konstansokra.
  • A béta-eloszlás a Bernoulli-eloszlás konjugált priorja.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Archivált másolat. [2014. március 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. április 9.)
  2. ↑ Archivált másolat. [2012. március 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. április 9.)

Források

  • Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I. Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  
  • Johnson, N.L – Kotz, S – Kemp A: Univariate Discrete Distributions. 2. kiadás. (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0-471-54897-9  
  • Weisstein, Eric W.: Bernoulli Distribution (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap