Bartlett-próba

A statisztikában a Bartlett-próba (lásd Snedecor és Cochran, 1989) segítségével eldönthetjük, hogy a minták egyenlő varianciájú populációkból származnak-e. Ha a populációk varianciája azonos, azt homoszkedaszticitásnak vagy homogenitásnak nevezzük. Néhány statisztikai próba, például a varianciaanalízis, azt feltételezi, hogy a vizsgált populációk varianciája azonos. A Bartlett-próba segítségével ez a feltételezés igazolható.

A Bartlett-próba során null- és alternatív hipotézist állítunk fel. E célból számos vizsgálati eljárást dolgoztak ki. Az átlagos négyzetes hiba (Mean Square Error = MSE) tesztelési módszere, illetve becslőfüggvények miatt érdemes a Bartlett-próbát használni. Ez a vizsgálati módszer azokat a statisztikai eseteket veszi alapul, amelyeknek mintavételi eloszlása megközelítőleg Khí-négyzet eloszlás k-1 szabadsági fokkal, ahol k az n1, n2... nk méretű véletlenszerű minták különböző varianciájú független normál populációkból származnak.

A Bartlett-próba érzékeny a normális eloszlástól való eltérésre. Vagyis ha a minták nem normális eloszlású populációkból származnak, akkor a Bartlett-próba csak a nem-normál eloszlás tesztelésére használható. A Levene-próba és a Brown-Forsythe-próba alternatívák lehetnek a Bartlett-próba helyett, mivel kevésbé érzékenyek a normalitástól való eltérésre.[1]

A próba Maurice Stevenson Bartlettről kapta a nevét.

Jellemzői

A Bartlett-próba nullhipotézise a következő, H0: minden k populáció varianciája egyenlő, míg az alternatív hipotézis szerint legalább két populáció varianciája eltér egymástól.

Ha van k számú mintánk, melyek mérete ni és a minták varianciája S i 2 {\displaystyle S_{i}^{2}} , akkor a Bartlett-próba egyenlete

χ 2 = ( N − k ) ln ⁡ ( S p 2 ) − ∑ i = 1 k ( n i − 1 ) ln ⁡ ( S i 2 ) 1 + 1 3 ( k − 1 ) ( ∑ i = 1 k ( 1 n i − 1 ) − 1 N − k ) {\displaystyle \chi ^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}} ,

ahol N = ∑ i = 1 k n i {\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}

és S p 2 = 1 N − k ∑ i ( n i − 1 ) S i 2 {\displaystyle S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i}(n_{i}-1)S_{i}^{2}} az összesített becslése a varianciának.

A próba egyenlete megközelítőleg χ k − 1 2 {\displaystyle \chi _{k-1}^{2}} eloszlással rendelkezik. Így a null-hipotézist elvetjük ha χ 2 > χ k − 1 , α 2 {\displaystyle \chi ^{2}>\chi _{k-1,\alpha }^{2}} (ahol χ k − 1 , α 2 {\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}} a felső vége a kritikus értéknek a χ k − 1 2 {\displaystyle \chi _{k-1}^{2}} eloszláskor.)

A Bartlett-próba egy módosított változata a kapcsolódó valószínűségi hányados próbának, mely feladata hogy jobban megbecsülje a χ k − 1 2 {\displaystyle \chi _{k-1}^{2}} eloszlást (Bartlett, 1937).

Megjegyzések

A próba egyenlete néhány forrás szerint tizes alapú logaritmusban az alábbiak szerint írandó:[2]

χ 2 = 2.3026 ( N − k ) log 10 ⁡ ( S p 2 ) − ∑ i = 1 k ( n i − 1 ) log 10 ⁡ ( S i 2 ) 1 + 1 3 ( k − 1 ) ( ∑ i = 1 k ( 1 n i − 1 ) − 1 N − k ) {\displaystyle \chi ^{2}=2.3026{\frac {(N-k)\log _{10}(S_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\log _{10}(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\sum _{i=1}^{k}({\frac {1}{n_{i}-1}})-{\frac {1}{N-k}}\right)}}}

Jegyzetek

  1. ↑ 1.3.5.7. Bartlett's Test. www.itl.nist.gov. (Hozzáférés: 2019. november 9.)
  2. ↑ Mason, Robert L. (Robert Lee), 1946-: Statistical design and analysis of experiments : with applications to engineering and science. Gunst, Richard F., 1947-–Hess, James L. 2nd ed. 2003. ISBN 0471458511 Hozzáférés: 2019. november 9.  Wiley. 98. old.

Források

  • Bartlett, M. S. (1937). "Properties of sufficiency and statistical tests". Proceedings of the Royal Statistical Society, Series A 160, 268–282
  • Snedecor, George W. and Cochran, William G. (1989), Statistical Methods, Eighth Edition, Iowa State University Press.

További információk

A Bartlett-próba NIST-oldala